Нильпотентный элемент

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр^[1].

Определение

Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что ${\displaystyle x^{n}=0}$^[2].

Минимальное значение ${\displaystyle n}$, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента ${\displaystyle a}$.

Примеры

• Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

нильпотентна, поскольку ${\displaystyle A^{3}=0}$. Подробнее в статье Нильпотентная матрица.

• В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 3² сравнимо с 0 по модулю 9.
• Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию ${\displaystyle ab=0}$. Тогда элемент ${\displaystyle c=ba}$ нильпотентен, поскольку ${\displaystyle c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0}$. Пример для матриц (в качестве a и b):

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Здесь ${\displaystyle AB=0,BA=B}$.

• Кольцо сплит-кватернионов^[англ.] содержит конус нильпотентных элементов.

• По определению любой элемент нильполугруппы^[англ.] нильпотентен.

Свойства

• Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент 0 = 1). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля.

• Матрица A размером n-на-n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен ${\displaystyle t^{n}}$.

• Если элемент x нильпотентен, то ${\displaystyle 1-x}$ является обратимым элементом, поскольку из ${\displaystyle x^{n}=0}$ следует:

  ${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$

• Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Коммутативные кольца

Нильпотентные элементы коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ образуют идеал ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$, что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент ${\displaystyle x}$ в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ этого кольца, поскольку ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$. Таким образом, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент ${\displaystyle x}$ не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$, чтобы получить ненулевое кольцо ${\displaystyle S^{-1}R}$. Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кольца ${\displaystyle R}$ с ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$^[3]. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент ${\displaystyle x}$ не содержится в некотором простом идеале. Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ является в точности пересечением всех простых идеалов^[4].

Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы Алгебры Ли

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — Алгебра Ли. Тогда элемент ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется нильпотентным, если он в ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ и ${\displaystyle \operatorname {ad} x}$ является нильпотентным преобразованием. См. также Разложение Жордана в алгебре Ли^[англ.].

Нильпотентность в физике

Операнд Q, удовлетворяющий условию ${\displaystyle Q^{2}=0}$ нильпотентен. Числа Грассмана^[англ.], которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения^[5][6]. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, такой, что ${\displaystyle Q^{n}=0}$ (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с ${\displaystyle n=2}$). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса^[7] как показал Эдвард Виттен в признанной статье^[8].

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах алгебры физического пространства^{[англ.][9]}. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.

Алгебраические нильпотенты

Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают сплит-кватернионы^[англ.] (кокватернионы), расщеплённые октанионы^[англ.], бикватернионы ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ и комплексные октанионы ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$.

См. также

• Идемпотентный элемент
• Унипотентный элемент
• Приведённое кольцо^[англ.]
• Ниль-идеал^[англ.]