Дефект (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Дефект.

Дефект — разность между величиной ${\displaystyle 2\pi }$ (соответственно, ${\displaystyle \pi }$) и суммой плоских углов многогранника, примыкающих к одной вершине (соответственно, суммой углов гиперболического треугольника). Противоположное понятие — избыток или эксцесс.

Примеры

Многогранник	Количество вершин	Сходящиеся в вершине грани	Дефект при вершине	Полный дефект
тетраэдр	4	Три равносторонних треугольника	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 4\pi }$
октаэдр	6	Четыре равносторонних треугольника	${\displaystyle {2\pi \over 3}}$	${\displaystyle 4\pi }$
куб	8	Три квадрата	${\displaystyle {\pi \over 2}}$	${\displaystyle 4\pi }$
икосаэдр	12	Пять равносторонних треугольников	${\displaystyle {\pi \over 3}}$	${\displaystyle 4\pi }$
додекаэдр	20	Три правильных пятиугольника	${\displaystyle {\pi \over 5}}$	${\displaystyle 4\pi }$

Свойства

• Дефект при вершине выпуклого многогранника всегда положителен.
• Сумма дефектов многогранника равна его эйлеровой характеристике, умноженной на ${\displaystyle 2\pi }$. В частности, сумма дефектов выпуклого многогранника равна ${\displaystyle 4\pi }$.

Литература

• Н. Долбилин. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.