Эксцесс (сферическая тригонометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Эксцесс (значения).

Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток, — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.

Сферический треугольник

Определение

Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс

${\displaystyle \varepsilon =A+B+C-\pi }$

Свойства и вычисление

• Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числа^[1]:15.
• Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула Люилье^[1]:94:

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\varepsilon }{4}}={\sqrt {\operatorname {tg} {\frac {p}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-a}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-b}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-c}{2}}}},p={\frac {a+b+c}{2}}}$

• Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формула^[1]:95:

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\varepsilon }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} {\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {b}{2}}+\cos C}{\sin C}}}$

Применение

• Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку ${\displaystyle S=R^{2}\varepsilon }$ (здесь ${\displaystyle R}$ — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах)^[1]:99.
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы ${\displaystyle \theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}}$ при вершине, как:

${\displaystyle \Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}$, где ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$ — полупериметр.

Через двугранные углы ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ телесный угол выражается, как:

${\displaystyle \Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi }$