Дзета-функция Барнса

Дзета-функция Барнса — обобщение дзета-функции Римана:

${\displaystyle \zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geqslant 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}}$,

где ${\displaystyle \operatorname {Re} (w)}$, ${\displaystyle \operatorname {Re} (a_{j})\geqslant 0}$, ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>N}$.

Функция мероморфно продолжается на все комплексные ${\displaystyle s}$, единственными её особенностями являются простые полюса при ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$. При ${\displaystyle N=w=a_{1}=1}$ функция совпадает с дзета-функцией Римана.

Введена Эрнстом Барнсом в 1899 году. Дальнейшее обобщение — дзета-функция Синтани.

Литература

• Barnes, E. W. (1899), The Theory of the Double Gamma Function. [Abstract], Proceedings of the Royal Society of London, vol. 66, The Royal Society, pp. 265–268, doi:10.1098/rspl.1899.0101, ISSN 0370-1662, JSTOR 116064, S2CID 186213903
• Barnes, E. W. (1901), The Theory of the Double Gamma Function, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, vol. 196, no. 274–286, The Royal Society, pp. 265–387, Bibcode:1901RSPTA.196..265B, doi:10.1098/rsta.1901.0006, ISSN 0264-3952, JSTOR 90809
• Barnes, E. W. (1904), On the theory of the multiple gamma function, Trans. Camb. Philos. Soc., vol. 19, pp. 374–425
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), Shintani–Barnes zeta and gamma functions, Advances in Mathematics, vol. 187, no. 2, pp. 362–395, doi:10.1016/j.aim.2003.07.020, ISSN 0001-8708, MR 2078341
• Ruijsenaars, S. N. M. (2000), On Barnes' multiple zeta and gamma functions, Advances in Mathematics, vol. 156, no. 1, pp. 107–132, doi:10.1006/aima.2000.1946, ISSN 0001-8708, MR 1800255