Дзета-функция Синтани

Дзета-функция Синтани — обобщение дзета-функции Римана, обобщающая также дзета-функцию Гурвица и дзета-функцию Барнса. Введена и изучена Такуро Синтани (яп. 新谷卓郎) в 1976 году.

Задаётся как мероморфное продолжение функции:

${\displaystyle \zeta (P;s)=\sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(\mathbf {x} )^{s}}}}$

для многочлена ${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$ от переменных ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{r})}$ с вещественными коэффициентами, такими что ${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$ является произведением линейных многочленов с положительными коэффициентами, то есть ${\displaystyle P(\mathbf {x} )=P_{1}(\mathbf {x} )P_{2}(\mathbf {x} )\cdots P_{k}(\mathbf {x} )}$, где ${\displaystyle P_{i}(\mathbf {x} )=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\cdots +a_{ir}x_{r}+b_{i}}$, ${\displaystyle a_{ij}>0}$, ${\displaystyle b_{i}>0}$ и ${\displaystyle k=\deg P}$.

Обобщается до функции с несколькими переменными ${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{k})}$ следующим образом:

${\displaystyle \sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{1}(\mathbf {x} )^{s_{1}}\cdots P_{k}(\mathbf {x} )^{s_{k}}}}}$.

При ${\displaystyle k=1}$ — это дзета-функция Барнса.

Имеет определённое сходство с дзета-функцией Виттена, которая также определяется многочленами, являющимися произведениями линейных форм с неотрицательными коэффициентами. При этом дзета-функции Виттена не являются частными случаями дзета-функций Синтани, поскольку в них у линейных форм могут быть коэффициенты, равные нулю, например, многочлен ${\displaystyle (x+1)(y+1)(x+y+2)/2}$ определяет дзета-функцию Виттена ${\displaystyle SU(3)}$, но линейная форма ${\displaystyle x+1}$ имеет коэффициент при ${\displaystyle y}$, равный нулю.

Литература

• Hida H. Elementary theory of L-functions and Eisenstein series. — Cambridge University Press, 1993. — (London Mathematical Society Student Texts, vol. 26). — ISBN 978-0-521-43411-9. — Zbl 0942.11024.
• Shintani T. On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at non-positive integers (англ.) // Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics. — 1976. — Vol. 23, iss. 2. — P. 393–417. — ISSN 0040-8980. — Zbl 0349.12007.