Дзета-функция Якоби

Дзета-функция Якоби — эллиптический вариант дельта-функции, определяется посредством дельта-амплитуты Якоби ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)=\int \limits _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(u,k)\;du-{\frac {\mathbf {E} }{\mathbf {K} }}u}$,

где ${\displaystyle \mathbf {K} }$ и ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — полные эллиптические интегралы первого и второго рода в нормальной форме:

${\displaystyle \mathbf {K} (k)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$,

${\displaystyle \mathbf {E} (k)=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\;dt}$.

Определение как логарифмической производной тета-функции Якоби ${\displaystyle \vartheta _{01}}$:

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\partial }{\partial u}}\ln {\bigl \{}\vartheta _{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi \mathbf {K} (k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}{\bigr \}}={\frac {\pi }{2\mathbf {K} (k)}}{\frac {\vartheta '_{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi \mathbf {K} (k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}{\vartheta _{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi \mathbf {K} (k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}}}$.

Является мероморфной функцией от ${\displaystyle u}$ (если параметр ${\displaystyle k}$, называемый модулем, считать фиксированным); в отличие от двоякопериодических эллиптических функций Якоби у неё один период — ${\displaystyle 2\mathbf {K} }$:

${\displaystyle \operatorname {zn} u=-\operatorname {zn} (2\mathbf {K} -u)=\operatorname {zn} (2\mathbf {K} +u)=-\operatorname {zn} (-u)}$.

Нули дзета-функции Якоби — ${\displaystyle n\mathbf {K} }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$).

Литература

• Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Дзета-функция Якоби // Специальные функции: формулы, графики, таблицы / Пер. с 6-го переработанного немецкого издания под ред. Л. И. Седова. — М.: Наука, 1964. — С. 127. — 344 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Jacobi Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.