Дизъюнктное дополнение множества

Дизъю́нктное дополне́ние мно́жества условно полной векторной решётки — любое множество с элементами определённого вида этой векторной решётки, которое образует линейное подпространство этой векторной решётки и при определённых условиях его прямая сумма с исходным множеством есть вся векторная решётка^[1][2].

Формально определение дизъюнктного дополнения множества можно записать следующим образом. Рассмотрим условно полную векторную решётку (К-пространство) ${\displaystyle E}$. Дизъюнктное дополнение множества ${\displaystyle M\subset E}$ — другое множество элементов ${\displaystyle M^{d}}$ следующего вида:

${\displaystyle M^{d}=\{x\in E\mid |x|\wedge |y|=0\quad \forall y\in M\}}$,

которое есть линейное подпространство векторной решётки ${\displaystyle E}$^[1][2].

Даже если исходное множество ${\displaystyle M\subset E}$ есть линейное подпространство, всё равно в общем случае ${\displaystyle E\neq M\oplus M^{d}}$^[1].

Но когда исходное множество ${\displaystyle M}$ есть компонента (полоса, или замкнутый идеал), другими словами, линейное пространство ${\displaystyle M}$ обладает одним из следующих двух свойств:

• если ${\displaystyle x\in M}$ и ${\displaystyle |y|\leqslant |x|}$, то ${\displaystyle y\in M}$;
• ${\displaystyle M}$ замкнуто при осуществлении перехода к точным верхним и нижним границам,

тогда ${\displaystyle E=M\oplus M^{d}}$^[1].

Теорема 1. Для произвольного множества ${\displaystyle M\subset E}$ его дизъюнктное дополнение ${\displaystyle M^{d}}$ есть компонента^[1].

Теорема 2. Дизъюнктное дополнение дизъюнктного дополнения ${\displaystyle M^{dd}=(M^{d})^{d}}$ — это наименьшая из компонент, которые включают исходное множество ${\displaystyle M\subset E}$^[1].