Замкнутое множество

Замкнутое множество — множество, содержащее свои предельные точки. Впервые определено Георгом Кантором в 1884 году^[1].

Определения

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,\tau )}$, тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. Множество ${\displaystyle A\subseteq X}$ замкнуто в ${\displaystyle X}$.
2. ${\displaystyle A^{c}=X\setminus A}$, является открытым подмножеством ${\displaystyle (X,\tau )}$, то есть ${\displaystyle A^{c}\in \tau }$.
3. ${\displaystyle A}$ совпадает со своим замыканием в ${\displaystyle X}$.
4. ${\displaystyle A}$ содержит все свои предельные точки.
5. ${\displaystyle A}$ содержит все свои граничные точки.

Замечания

Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве ${\displaystyle F}$ содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества ${\displaystyle F}$^[2].

Альтернативное определение замкнутого множества вводится с помощью последовательностей и сетей. Так, множество ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ замкнуто в ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда любой предел всякой сети из ${\displaystyle A}$ также лежит в ${\displaystyle A}$. В пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счётности (в том числе метрических пространствах) достаточно доказать сходимость всех последовательностей, вместо сетей. Одним из достоинств этого определения является возможность определить пространства сходимости^[англ.] — обобщения топологических пространств. Стоит заметить, что такое определение зависит от окружающего пространства ${\displaystyle X}$, так как сходимость последовательности или сети зависит от точек, содержащихся в ${\displaystyle X}$. Будем говорить, что точка ${\displaystyle x\in X}$ близка к множеству ${\displaystyle A\subseteq X}$, если ${\displaystyle x\in \mathrm {cl} _{X}A}$, где ${\displaystyle \mathrm {cl} _{X}A}$ означает замыкание ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle X}$. Тогда можно непосредственно определить замкнутые множества:

множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои близкие точки.

В терминах сходимости сетей, точка ${\displaystyle x\in X}$ близка к ${\displaystyle A}$, только если существует сеть в ${\displaystyle A}$, сходящаяся к ${\displaystyle x}$.

Замкнутые множества можно также определить через непрерывные функции: отображение ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ непрерывно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall A\subseteq X:f(\mathrm {cl} _{X}A)\subseteq \mathrm {cl_{Y}} (f(A))}$, то есть близкие точки ${\displaystyle A}$ при ${\displaystyle f}$ переводятся в близкие точки образа ${\displaystyle f}$.

Выше, понятие замкнутого множество было дано в терминах открытых множеств, которое справедливо в контексте топологических пространств и пространств, несущих топологическую структуру.

Замкнутость множества зависит от пространства, в которое оно вложено. Так, например, компактные хаусдорфовы пространства являются «абсолютно замкнутыми» в том смысле, что при вложении компактного хаусдорфова пространства ${\displaystyle D}$ в произвольное хаусдорфово пространство ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle D}$ будет всегда замкнуто в ${\displaystyle X}$. В этом смысле, компактификация Стоуна — Чеха может быть описана, как дополнение пространства пределами расходящихся сетей.

Замкнутые множества дают удобное определение компактности: топологическое пространство ${\displaystyle X}$ компактно тогда и только тогда, когда всякое семейство непустых замкнутых подмножеств ${\displaystyle X}$ с пустым пересечением допускает конечное подсемейство с пустым пересечением.

Связанные определения

Множества, которые одновременно являются и открытыми, и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Множества, полученные объединением счётного числа множеств называются F-сигма-множествами или ${\displaystyle F_{\sigma }}$.

Свойства

• Замкнутое множество содержит свою границу. Это справедливо в том числе для множеств с пустой границей.
• Любое пересечение счётного количества замкнутых множеств также замкнуто.
• Объединение конечного количества замкнутых множеств замкнуто.
• Само простанство и пустое множество являются замкнутыми.
• Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ несвязно, если существуют непересекающиеся непустые открытые множества ${\displaystyle A,B\subset X}$, объединение которых есть ${\displaystyle X}$.

Примеры

• Замкнутый промежуток ${\displaystyle [a,b]}$ числовой прямой замкнут.
• Единичный отрезок ${\displaystyle [0,1]}$ замкнут в метрическом пространстве над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, и множество ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ замкнуто в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, но не замкнуто в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Множество ${\displaystyle [0,1)}$ ни замкнуто, ни открыто.
• Луч ${\displaystyle [1,+\infty )}$ замкнут.
• Канторово множество является необычным примером замкнутого множества, состоящего только из своих граничных точек, являясь при этом нигде не плотным.
• Одноточечные множества замкнуты в пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме отделимости, и хаусдорфовых пространствах.
• Множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ является бесконечным и неограниченным замкнутым множеством в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Отображение ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ между топологическими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств ${\displaystyle Y}$ замкнуты в ${\displaystyle X}$.

См. также

• Открыто-замкнутое множество
• Открытое множество
• Окрестность