Диофантово уравнение

Диофа́нтово уравнение (также уравнение в целых числах) — это уравнение вида

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{m})=0,}$

где ${\displaystyle P}$ — целочисленная функция, например, полином с целыми коэффициентами, а переменные ${\displaystyle x_{i}}$ принимают целые значения. «Диофантовым» уравнение названо в честь древнегреческого математика Диофанта.

Также при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так, уравнение

${\displaystyle P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,}$

с параметрами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ и неизвестными ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ считается разрешимым при данных значениях набора параметров ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$, если существуют набор чисел ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{m})}$, при которых это равенство становится верным.

Таким образом, диофантовыми уравнениями называют уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных в уравнении должно быть не менее двух^[1]. Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика Диофанта Александрийского, который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения^[2]. Все сохранившиеся записи собраны в книгу «Арифметика»^[3]. После Диофанта схожим изучением неопределённых уравнений занимались индусские математики, начиная примерно с пятого века^[4]. В Европе решением неопределённых уравнений занимались практически все крупные алгебраисты своего времени: Леонардо Фибоначчи (ок.1170 — 1250 гг.), Франсуа Виет (1540—1603 гг.), Симон Стевин (ок. 1549—1620 гг.)^[5].

Проблема решения уравнений в целых числах рассмотрена до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.

Примеры

• ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$:
  • При ${\displaystyle n=2}$ решениями этого уравнения являются пифагоровы тройки.
  • Согласно Великой теореме Ферма, это уравнение не имеет ненулевых целых решений при ${\displaystyle n>2}$.
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}}$ — гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа ${\displaystyle n>2}$ это уравнение неразрешимо в натуральных числах ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$, то есть никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы ${\displaystyle (n-1)}$ n-х степеней других натуральных чисел. Гипотеза является обобщением великой теоремы Ферма, но была опровергнута для ${\displaystyle n=4}$ и ${\displaystyle n=5}$, после чего была выдвинута гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.
• ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$, где параметр n не является точным квадратом — уравнение Пелля.
• ${\displaystyle x^{z}-y^{t}=1}$, где ${\displaystyle z,t>1}$, — уравнение Каталана, которое имеет единственное решение ${\displaystyle 3^{2}-2^{3}=1}$.
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{n-i}=c}$ при ${\displaystyle n\geq 3}$ и ${\displaystyle c\neq 0}$ — уравнение Туэ.

Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.}$

В частности, линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

${\displaystyle ax+by=c.\qquad (1)}$

Если ${\displaystyle (a,b)\nmid c}$ (то есть наибольший общий делитель ${\displaystyle (a,\;b)}$ не делит ${\displaystyle c}$), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, если ${\displaystyle (a,\;b)\neq 1}$, то число, стоящее слева в (1), делится на ${\displaystyle (a,\;b)}$, а стоящее справа — нет. Справедливо и обратное: если в уравнении ${\displaystyle ax+by=c}$ выполняется ${\displaystyle (a,b)\mid c}$, то оно разрешимо в целых числах.

Пусть ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$ — частное решение уравнения ${\displaystyle ax+by=c}$. Тогда все его решения находятся по формулам:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{(a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Частное решение ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$ можно построить следующим образом. Если ${\displaystyle (a,b)\neq 1}$ и ${\displaystyle c}$ делится на ${\displaystyle (a,b)}$, то после деления всех коэффициентов на ${\displaystyle (a,b)}$ уравнение приобретает вид ${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1}}$, где ${\displaystyle (a_{1},b_{1})=1}$. Для последнего уравнения частное решение получается из соотношения Безу для ${\displaystyle a_{1},b_{1}}$:

${\displaystyle ua_{1}+vb_{1}=1,}$

исходя из которого, можно положить ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).}$

Известна явная формула для серии решений линейного уравнения, следующая из теоремы Эйлера^[6]:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b)}}{b}}-at,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \varphi (\cdot )}$ — функция Эйлера, а t — произвольный целый параметр.

Алгебраические диофантовы уравнения

При рассмотрении вопроса разрешимости алгебраических диофантовых уравнений можно воспользоваться тем, что любую систему таких уравнений можно преобразовать в одно диофантово уравнение степени не выше 4 в целых неотрицательных числах, разрешимое в том и только том случае, когда разрешима исходная система (при этом множество переменных и множество решений этого нового уравнения может оказаться совершенно другим).

Диофантовы множества

Диофантовым множеством называется множество состоящее из упорядоченных наборов из n целых чисел, для которого существует алгебраическое диофантово уравнение:

${\displaystyle P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,}$

которое разрешимо тогда и только тогда, когда набор чисел ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ принадлежит этому множеству. Рассматриваемое диофантово уравнение называется диофантовым представлением этого множества. Важный результат, полученный Ю. В. Матиясевичем, состоит в том, что каждое перечислимое множество имеет диофантово представление^[7].

Неразрешимость в общем виде

Основная статья: Десятая проблема Гильберта

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 году, состоит в нахождении алгоритма решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В 1970 году Ю. В. Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.^[8]

Экспоненциальные диофантовы уравнения

Если одна или более переменных в диофантовом уравнении входит в выражение показателя возведения в степень, такое диофантово уравнение называется экспоненциальным.

Примеры:

• Уравнение Рамануджана — Нагеля
• Уравнения гипотезы Ферма — Каталана
• Гипотеза Била

Общая теория решения таких уравнений отсутствует; частные случаи, такие как Гипотеза Каталана, были исследованы. Однако большинство из этих уравнений всё же удаётся решить специальными методами, такими как теорема Стёрмера^[англ.] или даже метод проб и ошибок.

См. также

• Малая теорема Ферма
• Решение сравнений
• Диофантовы уравнения в средневековом исламском мире