Дисперсионно-сдвиговая смесь нормальных законов

Дисперсионно-сдвиговая смесь нормальных законов — используемое в статистических методах обобщение нормального распределения — непрерывное вероятностное распределение случайной величины вида:

${\displaystyle Z=\sigma Y{\sqrt {U}}\alpha +\alpha U+\beta }$,

где ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle U}$ — независимые случайные величины, ${\displaystyle Y}$ нормально распределена с центром в нуле, функция распределения ${\displaystyle U}$ непрерывна на положительной полуоси и все её точки роста находятся на положительной полуоси, ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — вещественные числа, ${\displaystyle \sigma >0}$. Функция распределения для такой величины задаётся следующим образом:

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{0}^{\infty }\Phi {\Big (}{\frac {x-\beta -\alpha z}{\sigma {\sqrt {z}}}}{\Big )}dG(z)}$,

где ${\displaystyle \Phi }$ — нормальное распределение величины ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle G}$ — распределение величины ${\displaystyle U}$.

Несмотря на то, что смесь в распределении производится по двум параметрам — по сдвигу и по масштабу, но, поскольку параметры сдвига смешиваемых законов пропорциональны их дисперсиям, функция распределения по существу является одномерной^[1].

Если математическое ожидание ${\displaystyle U}$ конечно (${\displaystyle \mathbb {E} U<\infty }$), то:

${\displaystyle \mathbb {E} Z=\beta +\alpha \mathbb {E} U}$;

если же, кроме того, ${\displaystyle \mathbb {E} U^{2}<\infty }$, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины вычисляются следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {E} Z=\beta ^{2}+(\sigma ^{2}+2\alpha \beta )\mathbb {E} U+\alpha ^{2}\mathbb {E} U^{2}}$,

${\displaystyle \mathbb {D} Z=\alpha ^{2}\mathbb {D} U+\sigma ^{2}\mathbb {E} U}$.

Естественным образом обобщается на многомерный случай^[2]. Частный случай — пятипараметрическое обобщённое гиперболическое распределение, в котором смешивается обобщённое обратное гауссовское распределение^{[англ.][3]}.

Введено и исследовано Оле Барндорф-Нильсеном^[дат.] в конце 1970-х — начале 1980-х годов^[4]. Такие смеси моделируют случайно остановленные процессы броуновского движения с нетривиальным сносом; в дальнейшем нашли применение в широком классе задач моделирования статистических закономерностей.