Обобщённое гиперболическое распределение

Обобщённое гиперболическое распределение — непрерывное вероятностное распределение, определяемое как дисперсионно-сдвиговая смесь нормальных законов со смешивающей плотностью обобщённого обратного гауссова распределения. Является довольно обширным классом распределений, за счёт манипуляции пятью параметрами включает в себя распределение Стьюдента, распределение Лапласа, гиперболическое распределение и распределение variance-gamma:

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-{\frac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )}$ имеет распределение Стьюдента с ${\displaystyle \nu }$ степенями свободы;
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )}$ имеет гиперболическое распределение;
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )}$ имеет нормальное-обратное гаусово распределение;
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)}$ имеет нормальное-обратное хи-квадарат-распределение^{[уточнить]};
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)}$ имеет нормальное-обратное гамма распределение^{[уточнить]};
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (\lambda ,\alpha ,\beta ,0,\mu )}$ имеет распределение variance-gamma.

Обобщённое гиперболическое
Параметры	${\displaystyle \mu }$ (вещественное число) ${\displaystyle \lambda }$ (вещественное число) ${\displaystyle \alpha }$ (вещественное число) ${\displaystyle \beta }$ коэффициент асимметрии (вещественное число) ${\displaystyle \delta }$ коэффициент масштаба (вещественное число) ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$
Носитель	${\displaystyle x\in (-\infty$ ;+\infty )}
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}}$ ${\displaystyle \times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$

Литература

• Barndorff-Nielsen O. E., Kent J., Sørensen M. Normal variance-mean mixtures and z-distributions (англ.) // International Statistical Review. — 1982. — Vol. 50, no. 2. — P. 145–159. — doi:10.2307/1402598.
• Королёв В. Ю., Корчагин А. Ю., Горшенин А. К. Некоторые свойства дисперсионно-сдвиговых смесей нормальных законов // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвузовский сборник. — Пермь, 2015. — Вып. 26. — С. 134—153. — ISBN 978-5-7944-1523-8.