Диффеоморфизм Аносова

Диффеоморфизм Аносова — диффеоморфизм ${\displaystyle f\colon M\rightarrow M}$, гиперболичный на всём многообразии ${\displaystyle M}$ — отображение с устойчивой динамикой относительно малых возмущений. Введён в теорию динамических систем Дмитрием Аносовым.

Гиперболичность на многообразии ${\displaystyle M}$ означает, что существует разложение касательного расслоения ${\displaystyle TM}$ в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений ${\displaystyle E^{u}}$ и ${\displaystyle E^{s}}$, инвариантных относительно динамики, причём на ${\displaystyle E^{u}}$ динамика экспоненциально растягивает, а на ${\displaystyle E^{s}}$ экспоненциально сжимает:

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\leqslant c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s}}$,

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\geqslant c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u}}$,

где ${\displaystyle c_{1},c_{2}>0}$ и ${\displaystyle \mu >1>\lambda >0}$ — константы.

Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы: для любого аносовского диффеоморфизма ${\displaystyle f}$ существует такая его окрестность в пространстве диффеоморфизмов класса ${\displaystyle C^{1}}$, любой диффеоморфизм ${\displaystyle g}$ из которой сопряжён с ${\displaystyle f}$ некоторым гомеоморфизмом ${\displaystyle h}$: ${\displaystyle f\circ h=h\circ g}$. Иными словами, динамика малого возмущения ${\displaystyle f}$ отличается от самого ${\displaystyle f}$ только (непрерывной) заменой координат.

Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:

${\displaystyle \|f^{-n}(v)\|\leqslant c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u}}$.

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)}$ на двумерном торе ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$. Более общо: если матрица ${\displaystyle A\in SL_{n}(\mathbb {Z} )}$ не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ (корректно определённый, поскольку ${\displaystyle A}$ сохраняет ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$) будет диффеоморфизмом Аносова.

Литература

• В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.