Дифференциальная алгебра

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной ${\displaystyle C(t)}$, операции дифференцирования соответствует дифференцирование по ${\displaystyle t}$. Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Эллисом Колчином^{[англ.][1][2]}.

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

${\displaystyle \partial \colon R\to R}$

удовлетворяющими правилу произведения

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})}$

для любых ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R}$. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило ${\displaystyle d(xy)=xdy+ydx}$ может не выполняться. В безындексной форме записи, если ${\displaystyle M\colon R\times R\to R}$ — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

${\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ).}$

где ${\displaystyle f\otimes g}$ — отображение пары ${\displaystyle (x,y)}$ в пару ${\displaystyle (f(x),g(y))}$.

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

${\displaystyle \partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u}$

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$

Полем констант дифференциального поля ${\displaystyle K}$ называется ${\displaystyle k=\{u\in K|\partial (u)=0\}}$.

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых ${\displaystyle k\in K}$ и ${\displaystyle x\in A}$:

${\displaystyle \ \partial (kx)=k\partial x}$

В безындексной форме записи, если ${\displaystyle \eta \colon K\to A}$ — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

${\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial )}$

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых ${\displaystyle a,b\in K}$ и ${\displaystyle x,y\in A}$:

${\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)}$

и

${\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y}$

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли ${\displaystyle L}$ — это линейное отображение ${\displaystyle \delta \colon L\to L}$, удовлетворяющее правилу Лейбница:

${\displaystyle \ \delta ([a,b])=[a,\delta (b)]+[\delta (a),b]}$

Для любого ${\displaystyle a\in L}$ оператор ${\displaystyle \operatorname {ad} (a)}$ — дифференцирование на ${\displaystyle L}$, что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если ${\displaystyle A}$ — алгебра с единицей, то ${\displaystyle \partial (1)=0}$, так как ${\displaystyle \partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1)}$. Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством ${\displaystyle \partial (t)=1}$: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по ${\displaystyle t}$. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

${\displaystyle \partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)}$

В дифференциальном поле ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ нет решения дифференциального уравнения ${\displaystyle \partial (u)=u}$, но можно расширить его до поля, содержащего функцию ${\displaystyle e^{t}}$, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

${\displaystyle R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.}$

Умножение в этом кольце определяется как

${\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.}$

Здесь ${\displaystyle {m \choose k}}$ — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

${\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}}$

следующее из

${\displaystyle {-1 \choose n}=(-1)^{n}}$

и

${\displaystyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).}$

Градуированное дифференцирование

Пусть ${\displaystyle A}$ — градуированная алгебра, ${\displaystyle D}$ — однородное линейное отображение, ${\displaystyle d=\left|D\right|}$. ${\displaystyle D}$ называется однородной производной, если ${\displaystyle D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)}$, ${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$ при действии на однородные элементы ${\displaystyle A}$. Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым ${\displaystyle \epsilon }$.

Если ${\displaystyle \epsilon =1}$, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если ${\displaystyle \epsilon =-1}$, то ${\displaystyle D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}$, для нечётных ${\displaystyle \left|D\right|}$. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.