Дифференциальные формы в электромагнетизме

Дифференциальные формы в электромагнетизме — одна из возможных математических формулировок классической электродинамики при помощи дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времени.

Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.}$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная к 4-вектору тока, имеет вид

${\displaystyle {\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.}$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

${\displaystyle \mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}}$,

${\displaystyle \mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={*{\textbf {J}}}}$,

где ${\displaystyle *}$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма ${\displaystyle *\mathbf {F} }$ также называется 2-формой Максвелла.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М.: Едиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00341-5
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971
• Болибрух А. А. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы, МЦНМО, 2002.

См. также

• Диада (англ. Dyadic tensor)
• Двухэлементный тензор (англ. Dyadic tensor)
• Умножение двухэлементного тензора (англ. Dyadic product)
• Кватернион
• Внешняя алгебра