Длина свободного пробега

Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние ${\displaystyle \lambda }$, которое пролетает частица за время между двумя последовательными столкновениями.^[1]

Для каждой молекулы это расстояние различно, поэтому в кинетической теории газов под длиной свободного пробега обычно подразумевается^[2] средняя длина свободного пробега <${\displaystyle \lambda }$>, которая является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

Теория рассеяния

Слой мишени

Представим поток частиц, проходящих через мишень размером ${\displaystyle L\times L}$, и рассмотрим бесконечно тонкий слой этой мишени (см. рисунок).^[3] Красным здесь обозначены атомы, с которыми частицы падающего пучка могут столкнуться. Значение длины свободного пробега будет зависеть от характеристик этой системы. Если все частицы мишени покоятся, то выражение для длины свободного пробега будет выглядеть как:

${\displaystyle \ell =(\sigma n)^{-1},}$

где n — количество частиц мишени в единице объёма, а σ — эффективное сечение.

Площадь такого слоя L², объём L² dx, и тогда количество неподвижных атомов в нём n L² dx. Вероятность ${\displaystyle dP}$ рассеяния этим слоем одной частицы равна отношению части площади сечения, «перекрываемой» всеми рассеивающими частицами, ко всей площади сечения:

${\displaystyle dP={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,}$ где σ — площадь, или, более точно, сечение рассеяния одного атома.

Тогда уменьшение ${\displaystyle dI}$ интенсивности потока будет равно начальной интенсивности, умноженной на вероятность рассеяния частицы внутри мишени:

${\displaystyle dI=-In\sigma \,dx.}$

Получаем дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-In\sigma =-{\frac {I}{\ell }},}$

решение которого известно как закон закон Бугера^[4] и имеет вид ${\displaystyle I=I_{0}e^{-x/\ell }}$, где x — расстояние, пройденное пучком, I₀ — интенсивность пучка до того, как он попал в мишень, а ℓ называется средней длиной свободного пробега, потому что она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание, что вероятность того, что частица будет рассеяна в слое от x до x + dx, равна

${\displaystyle dP(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.}$

И таким образом, среднее значение x будет равно

${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{0}^{\infty }xdP(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .}$

Отношение части частиц, которые не рассеялись мишенью, к количеству, падающему на её поверхность, называется коэффициентом пропускания ${\displaystyle T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }}$, где x = dx — толщина мишени

Кинетическая теория

В кинетической теории газов длина свободного пробега частицы (например, молекулы) — это среднее расстояние, которое проходит частица за время между столкновениями с другими движущимися частицами. В приведённом выше выводе предполагалось, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому формула ${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}}$, вообще говоря, справедлива только для падающих частиц со скоростями, высокими относительно скоростей совокупности таких же частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени будут незначительны, а относительная скорость примерно равна скорости частицы.

Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.}$

В состоянии равновесия значения скоростей ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ случайны и независимы, поэтому ${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0}$, а относительная скорость равна

${\displaystyle v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.}$

Это означает, что количество столкновений равно ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, умноженному на количество неподвижных целей. Следовательно, применимо следующее соотношение:^[5]

${\displaystyle \ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}}$

Из закона Менделеева — Клапейрона ${\displaystyle n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)}$ и с учётом ${\displaystyle \sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2}}$ (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц радиусом ${\displaystyle r}$) можно показать, что длина свободного пробега равна^[6]

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},}$ где k_B — постоянная Больцмана.

На практике диаметр молекул газа не определён точно. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твёрдые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса. Один из способов описать такие «мягкие» молекулы — использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ — предположить, что газ в модели твёрдых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ. Это приводит к средней длине свободного пробега^[7]

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},}$

где m — масса молекулы, а μ — вязкость. Это выражение можно удобно представить в следующем виде:

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{u}T}{2M}}},}$

где ${\displaystyle R_{u}}$ — универсальная газовая постоянная, а ${\displaystyle M}$ — молекулярная масса. Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.

Формула

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma n}}}$, где ${\displaystyle \sigma }$ — эффективное сечение молекулы, равное ${\displaystyle {\pi d^{2}}}$ (${\displaystyle d}$ — эффективный диаметр молекулы), а ${\displaystyle n}$ — концентрация молекул.

Примеры

В следующей таблице приведены типичные значения длины свободного пробега молекул воздуха при комнатной температуре для различных давлений.

Диапазон давления	Давление, Па	Давление, мм.рт.ст.	Концентрация, молекул / см3	Концентрация, молекул / м3	Длина свободного пробега
Атмосферное давление	101300	759.8	2.7 × 1019	2.7 × 1025	68[8] нм
Низкий вакуум	30000 — 100	220 — 8×10−1	1019 — 1016	1025 — 1022	0.1 — 100 мкм
Средний вакуум	100 — 10−1	8×10−1 — 8×10−4	1016 — 1013	1022 — 1019	0.1 — 100 мм
Высокий вакуум	10−1 — 10−5	8×10−4 — 8×10−8	1013 — 109	1019 — 1015	10 см — 1 км
Сверхвысокий вакуум	10−5 — 10−10	8×10−8 — 8×10−13	109 — 104	1015 — 1010	1 км — 105 км
Экстремальный вакуум	<10−10	<8×10−13	<104	<1010	>105 км

См. также

• Вакуум
• Рассеяние частиц
• Физическая кинетика
• Вязкость