Дробная производная

Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Когда рассматриваются не только дробные, но и отрицательные порядки производной, к такой производной обычно применяется термин дифферинтеграл.

Дробные производные на отрезке вещественной оси

Для функции ${\displaystyle f(x)}$, заданной на отрезке ${\displaystyle [a,\,b]}$, каждое из выражений

${\displaystyle D_{a+}^{\alpha }\,f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int \limits _{a}^{x}{\frac {f(t)\,dt}{(x-t)^{\alpha }}},\quad \,D_{b-}^{\alpha }\,f(x)=-{\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int \limits _{x}^{b}{\frac {f(t)\,dt}{(t-x)^{\alpha }}},}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция, называется дробной производной порядка ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$, соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.

Определение через интеграл Коши

Дробная производная порядка ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle p}$ — вещественное положительное число) определяется через интеграл Коши: ${\displaystyle D_{C}^{p}f(t)={\frac {1}{\Gamma (p)}}\!\int \limits _{C}{\frac {f(u)}{(t-u)^{p+1}}}\,du}$, где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру ${\displaystyle C}$ на комплексной плоскости. Непосредственное применение этой формулы затруднено из-за ветвления функции при дробном показателе степени в знаменателе.

Определение через преобразование Фурье

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

${\displaystyle F[D^{k}\psi (x)](\omega )=(-i\omega )^{k}(F\psi )(\omega )\quad (k\in \mathbb {N} ).}$^[1]

Определение через общую формулу n-й производной

В случае, если есть общее аналитическое выражение для производной n-го порядка, понятие дробной производной может быть введено естественным образом путём обобщения данного выражения (когда это возможно) на случай произвольного числа n.

Пример 1: дифференцирование многочленов

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ есть моном вида

${\displaystyle f(x)=x^{k}\,.}$

Первая производная, как и обычно

${\displaystyle f'(x)={d \over dx}f(x)=kx^{k-1}\,.}$

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={k! \over (k-n)!}x^{k-n}\,,}$

который после замены факториалов гамма-функциями приводит к

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (k-n+1)}x^{k-n}\,.}$

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

${\displaystyle {d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}x={\Gamma (1+1) \over \Gamma (1-{1 \over 2}+1)}x^{1-{1 \over 2}}={\Gamma (2) \over \Gamma ({3 \over 2})}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}\;={\frac {2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt {\pi }}}\,.}$

Повторяя процедуру, будем иметь

${\displaystyle {d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}{2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma (1+{1 \over 2}) \over \Gamma ({1 \over 2}-{1 \over 2}+1)}x^{{1 \over 2}-{1 \over 2}}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma ({3 \over 2}) \over \Gamma (1)}x^{0}={1 \over \Gamma (1)}=1\,,}$

что представляет собой ожидаемый результат

${\displaystyle \left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}\right)x={d \over dx}x=1\,.}$

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая ${\displaystyle \Gamma }$ как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования. При этом

${\displaystyle {\left({d \over dx}\right)}^{a}{\left({d \over dx}\right)}^{b}={\left({d \over dx}\right)}^{a+b}}$

на всех ${\displaystyle x^{k}}$, таких что ${\displaystyle k-a}$, ${\displaystyle k-b}$ и ${\displaystyle k-a-b}$ не являются целыми отрицательными числами.

Следует заметить, что производная в рассмотренном смысле имеет место при целых отрицательных n, однако такая производная отличается от понятия первообразной n-го порядка, поскольку первообразная определена неоднозначно, в то время как производная совпадает лишь с одной из первообразных. В этом случае можно говорить о главном значении первообразной.

Пример 2: дифференцирование тригонометрических функций

Пусть

${\displaystyle f(x)=\sin(ax+b)\,.}$

Поскольку для любых a и b

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}\sin(ax+b)=a^{n}\sin \left(ax+b+{\pi n \over 2}\right)\,,}$

то, полагая ${\displaystyle n=1/2}$,

${\displaystyle {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\sin(ax+b)={\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+{\pi \over 4}\right)\,.}$

Действительно,

${\displaystyle {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\left({{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\sin(ax+b)\right)={\sqrt {a}}\;{\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4}\right)=a\,\cos(ax+b)=f'(x)\,.}$

В рассмотренном примере понятие производной обобщается на случай любого действительного и даже комплексного порядка. Так, при ${\displaystyle n=-1}$ формула n-й производной даёт одну из первообразных функции ${\displaystyle f(x)}$.

Пример 3: дифференцирование натурального логарифма

Пусть

${\displaystyle f(x)=\ln(x)}$

Первая производная, как и обычно

${\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$

Все последующие будут давать производную функции ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ln(x)={\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}{\frac {1}{x}}=(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}}$

Заменим факториал гамма-функцией

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ln(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\Gamma (n)}{x^{n}}}}$

Следует заметить, что ${\displaystyle n}$ производных имеет такой вид, при ${\displaystyle n\geqslant 1}$

Рассмотрим случии при ${\displaystyle n\leqslant 0}$

${\displaystyle {\frac {d^{-1}}{dx^{-1}}}\ln(x)=x(\ln(x)-1)}$

${\displaystyle {\frac {d^{-2}}{dx^{-2}}}\ln(x)={\frac {x^{2}}{2}}(\ln(x)-{\frac {3}{2}})}$

${\displaystyle {\frac {d^{-3}}{dx^{-3}}}\ln(x)={\frac {x^{3}}{6}}(\ln(x)-{\frac {11}{6}})}$

Заметим, для ${\displaystyle n\leqslant 0}$ производная приобретает вид

${\displaystyle {\frac {d^{-n}}{dx^{-n}}}\ln(x)={\frac {x^{n}}{n!}}(\ln(x)-H_{n})}$, где: ${\displaystyle H_{n}}$ - гармоническое число.

Заменим факториал Гамма-функцией

${\displaystyle {\frac {d^{-n}}{dx^{-n}}}\ln(x)={\frac {x^{n}}{\Gamma (n+1)}}(\ln(x)-H_{n})}$

Свойства

Основные свойства производной нецелого порядка:

• Линейность

${\displaystyle D_{t}^{q}(f(t)+g(t))=D_{t}^{q}(f(t))+D_{t}^{q}(g(t))}$

${\displaystyle D^{q}(ax)=aD^{q}(x)}$

• Правило нуля

${\displaystyle D^{0}x=x}$

• Дробная производная произведения

${\displaystyle D_{t}^{q}(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}D_{t}^{j}(f(t))D_{t}^{q-j}(g(t))}$

• Полугрупповое свойство

${\displaystyle D^{a}D^{b}f(t)=D^{a+b}f(t)}$

в общем случае не выполняется ^[1].