Задача Римана о распаде произвольного разрыва

Задача Римана о распаде произвольного разрыва — задача о построении аналитического решения нестационарных уравнений механики сплошных сред, в применении к распаду произвольного разрыва^[1]. Полностью решена в ограниченном круге частных случаев — для уравнений газовой динамики идеального газа и некоторых более точных приближений (т. н. газ с двучленным уравнением состояния) и уравнений теории мелкой воды. Решение для уравнений магнитной газовой динамики построимо, по всей видимости, вплоть до необходимости численного решения одного достаточно сложного обыкновенного дифференциального уравнения.

Постановка

Решается одномерная задача о распаде разрыва — то есть полагается, что до начального момента времени ${\displaystyle t=0}$ две области пространства с различными значениями термодинамических параметров (для газовой динамики это плотность, скорость и давление газа) были разделены тонкой перегородкой, а в начальный момент времени перегородку убирают. Требуется построить решение (то есть зависимость всех термодинамических параметров от времени и координаты) при произвольных начальных значениях переменных.

Решение задачи о распаде произвольного разрыва состоит в определении газодинамического течения, возникающего при ${\displaystyle t>0}$. Другими словами, речь идёт о решении задачи Коши для уравнений газовой динамики, в которой начальные условия заданы в виде описанного выше произвольного разрыва.

Решение

Решение задачи Римана для идеального изначально покоящего газа с показателем адиабаты ${\displaystyle \gamma =5/3}$ и относительным скачком давления и плотности ${\displaystyle \rho _{L}/\rho _{R}=P_{L}/P_{R}=10}$. По оси абсцисс отложена автомодельная переменная (безразмерная координата), по оси ординат — давление, плотность и скорость в относительных единицах. Слева направо: покоящийся газ, волна разрежения, контактный разрыв, ударная волна, покоящийся газ.

Оказывается, что для систем уравнений, записываемых в дивергентной форме, решение будет автомодельным.

Решение ищется в виде набора элементарных волн, определяющегося структурой системы уравнений. В частности, для газовой динамики это: ударная волна, волна разрежения, контактный разрыв. Приведём решение в явном виде для частного случая покоящегося идеального газа с показателем адиабаты ${\displaystyle \gamma }$. Пусть в начальный момент давление ${\displaystyle P}$, плотность ${\displaystyle \rho }$ и скорость ${\displaystyle v}$ имеют вид:

	${\displaystyle x<0}$	${\displaystyle x>0}$
${\displaystyle v(x)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \rho (x)}$	${\displaystyle \rho _{L}}$	${\displaystyle \rho _{R}}$
${\displaystyle P(x)}$	${\displaystyle P_{L}}$	${\displaystyle P_{R}}$

и ${\displaystyle P_{L}>P_{R}}$ — волна идёт направо. Тогда в произвольный момент времени ${\displaystyle t}$ решение имеет вид

	${\displaystyle x<-c_{L}t}$	${\displaystyle -c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t}$	${\displaystyle (v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t}$	${\displaystyle v_{2}t<x<Dt}$	${\displaystyle x>Dt}$
	Невозмущённое вещество	Волна разрежения	Область между фронтом волны разрежения и контактным разрывом	Область между контактным разрывом и фронтом ударной волны	Невозмущённое вещество
${\displaystyle v(x)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t}}}$	${\displaystyle v_{2}}$	${\displaystyle v_{2}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \rho (x)}$	${\displaystyle \rho _{L}}$	${\displaystyle \displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle \rho _{2}}$	${\displaystyle \rho _{1}}$	${\displaystyle \rho _{R}}$
${\displaystyle P(x)}$	${\displaystyle P_{L}}$	${\displaystyle \displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}}$	${\displaystyle P_{2}}$	${\displaystyle P_{2}}$	${\displaystyle P_{R}}$

Здесь ${\displaystyle c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho _{L}}}}$ — скорость звука в невозмущённой среде слева, ${\displaystyle v_{2}}$, ${\displaystyle P_{2}}$, ${\displaystyle \rho _{2}}$, ${\displaystyle c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho _{2}}}}$ — параметры газа и скорость звука между фронтом ударной волны и контактным разрывом, ${\displaystyle v_{2}}$, ${\displaystyle P_{2}}$, ${\displaystyle \rho _{1}}$ — параметры газа между контактным разрывом и ударной волной, ${\displaystyle D}$ — скорость ударной волны. Эти пять параметров определяются из нелинейной системы уравнений, отвечающих законам сохранения энергии, массы и импульса:

${\displaystyle \displaystyle \rho _{1}=\rho _{R}{\frac {D}{D-v_{2}}}}$

${\displaystyle \displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho _{R}v_{2}}}}$

${\displaystyle \displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1)\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma }}}}$

${\displaystyle \displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\gamma -1}}\left(1-\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{L}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{2}}\right)}$

Первые три уравнения здесь соответствуют соотношениям Гюгонио для идеального газа^[2], четвёртое и пятое — соотношениям в волне разрежения^[3].

Применение

Решение задачи Римана находит применение в численных методах при решении нестационарных задач с большими разрывами. Именно на решении (точном или приближенном) задачи Римана о распаде разрыва основывается метод Годунова решения систем нестационарных уравнений механики сплошной среды.