Замкнутая геодезическая

Замкнутая геодезическая на римановом многообразии — это геодезическая, которая образует простую замкнутую кривую. Её можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезического потока на касательное пространство многообразия.

Определение

В римановом многообразии (M,g) замкнутая геодезическая — это периодическая кривая ${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {R} \rightarrow M} , которая является геодезической для метрики g.

Замкнутые геодезические можно описать с помощью вариационного принципа. Если обозначить через ${\displaystyle \Lambda M}$ пространство гладких 1-периодических кривых на M, замкнутые геодезические с периодом 1 — это в точности критические точки функции энергии ${\displaystyle E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R} }$, определённой формулой

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

Если ${\displaystyle \gamma }$ — замкнутая геодезическая с периодом p, перепараметризованная кривая ${\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)}$ является замкнутой геодезической с периодом 1, а потому она является критической точкой E. Если ${\displaystyle \gamma }$ является критической точкой E, таковыми являются и перепараметризованные кривые ${\displaystyle \gamma ^{m}}$, для любого ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, определённые формулой ${\displaystyle \gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)}$. Тогда любая замкнутая геодезическая на M порождает бесконечную последовательность критических точек энергии E.

Примеры

На единичной сфере ${\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ со стандартной круговой римановой метрикой любой большой круг является замкнутой геодезической. Таким образом, на сфере все геодезические замкнуты. На гладкой поверхности, топологически эквивалентной сфере, это может и не быть верным, но всегда существуют по меньшей мере три простые замкнутые геодезические. Это теорема о трёх геодезических^{[англ.][1]}. Многообразия, на которых все геодезические замкнуты, были тщательно исследованы в математической литературе. На компактной гиперболической поверхности, фундаментальная группа которой не имеет кручения, замкнутые геодезические один к одному соответствуют нетривиальным классам сопряжённости элементов в фуксовой группе поверхности.

См. также

• Укорачивающий поток
• Формула следа Сельберга^[англ.]
• Дзета функция Сельберга^[англ.]
• Поверхность Цолля