Теорема Жордана

Не следует путать с леммой Жордана.

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».

Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета)

Не всегда интуитивно очевидно, находится ли точка во внутренней части кривой

Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые кривые Осгуда. В случае кривых специального вида, таких как ломаные, утверждение доказывается относительно просто^[1].

Замкнутые кривые, удовлетворяющие условию теоремы Жордана, называются жордановыми.

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году^[2]. Однако Томас Хейлс^[англ.] пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных^[3].

Формулировка

Любая замкнутая кривая Жордана ${\displaystyle \gamma }$ на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ разбивает её на две компоненты и является их общей границей^[4].

Замечания

Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной. Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой ${\displaystyle \gamma }$, а неограниченная — внешней.

Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой ${\displaystyle \gamma }$ равен ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$, совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен ${\displaystyle 0}$, совпадает с внешней часть.

Согласно теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой ${\displaystyle \gamma }$ гомеоморфна кругу^[4].

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

• Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Айзик Исаакович Вольперт^{[англ.][5]}.
• Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем^[6].

Вариации и обобщения

• Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое ${\displaystyle (n-1)}$-мерное подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При ${\displaystyle n=3}$ это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего ${\displaystyle n}$-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.^[4]

• Более того, любое компактное связное ${\displaystyle (n-1)}$-мерное подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.

• Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
  • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
  • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также

• Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.
• Дикий узел