Зацепление (теория узлов)

Зацепление кратности ${\displaystyle \mu }$ — вложение (чаще — его образ) несвязной суммы ${\displaystyle \mu }$ экземпляров окружности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ или ${\displaystyle S^{3}}$.

Кольца Борромео
Обозначение= L6a4
Число нитей = 3
Длина косы= 6
Число пересечений= 6
Гиперболический объём= 7.327724753
Класс= гиперболический

Зацепление Хопфа, в котором кольца соединены лентой и являются её краями.

Трилистник, сцепленный с кругом.

Зацепление кратности ${\displaystyle \mu =1}$ называется узлом.

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.

Объемлемо-изотопические классы зацеплений называются типами зацеплений. Зацепления одного типа называются эквивалентными.

Зацепление, состоящее из некоторых компонент зацепления ${\displaystyle L}$, называется его частичным зацеплением.

Говорят, что зацепление распадается (или расщепляется), если два его частичных зацепления разделены в ${\displaystyle S^{3}}$ двумерной сферой.

Некоторые типы зацеплений

• Зацепление «${\displaystyle 0,\;0,\;\ldots ,\;0}$», лежащее в плоскости в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, называется тривиальным.
• Зацепление называется брунновым, если распадается каждое его частичное зацепление, кроме него самого.
• Наиболее изучены кусочно линейные зацепления. Рассмотрение гладких или локально плоских топологических вложений в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ приводит к теории совпадающей с кусочно линейной.
• Кроме плоскости всякое зацепление можно расположить на стандартно вложенной в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ замкнутой поверхности. Например, зацепление можно расположить на незаузленном торе или кренделе, тогда такое зацепление будет называться соответственно торическим, или крендельным.
• Зацепление, лежащее на границе трубчатой окрестности узла называется обмоткой узла ${\displaystyle k}$. Зацепление, которое можно получить многократным взятием обмоток, начиная с тривиального узла, называется трубчатым, или сложным кабельтовым.

Задание зацеплений

Обычно зацепления задаются посредством так называемых диаграмм узлов и зацеплений. Этот способ тесно связан с понятием кос. Если в косе из ${\displaystyle 2n}$ нитей соединить вверху и внизу по ${\displaystyle n}$ пар соседних концов отрезками, то получится зацепление, называемое ${\displaystyle 2n}$-сплетением.

Другой способ конструирования зацеплений из кос состоит в замыкании кос. Если между двумя параллельными плоскостями ${\displaystyle \Pi _{1}}$ и ${\displaystyle \Pi _{2}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ взять ${\displaystyle 2m}$ ортогональных им отрезков и соединить их концы попарно ${\displaystyle m}$ дугами в ${\displaystyle \Pi _{1}}$ и ${\displaystyle m}$ дугами в ${\displaystyle \Pi _{2}}$ без пересечений, то сумма всех дуг и отрезков даст зацепление. Зацепление, допускающее такое представление, называется зацеплением с ${\displaystyle m}$ мостами.

Примеры зацеплений

Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор

• Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами ^[1], состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно^[2] и названо по имени Хайнца Хопфа^[3].

Узел Соломона
Число нитей = 4
Длина косы= 8
Число пересечений= 4
Число распутывания =2
ab-нотация =42
1
Гиперболический объём= 0
альтернирующий

• Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением
• Кольца Борромео^[4] — это зацепление, состоящее из трёх топологических окружностей, которые сцеплены и образуют брунново зацепление (то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены как в зацеплении Хопфа, тем не менее, все вместе они сцеплены.