Зацепление Хопфа

Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами^[1], состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно^[2] и названо по имени Хайнца Хопфа^[3].

Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор

Геометрическое представление

Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другой^[2]. Эта модель минимизирует длину верёвки^[англ.] (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна ^[4]. Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом^[5].

Свойства

Скейн-соотношение для зацепления Хопфа

В зависимости от относительной ориентации^[англ.] двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1^[6].

Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплением^[7] с описывающим словом^[8] ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$.

Дополнение зацепления Хопфа — ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}\times S^{1}}$, цилиндр над тором^[9]. Это пространство имеет локально евклидову геометрию, так что зацепление Хопфа не является гиперболическим. Группа узлов зацепления Хопфа (фундаментальная группа его дополнения) — это ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ (свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует свободная группа на двух генераторах^[10].

Зацепление Хопфа не может быть раскрашено в три цвета. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — это непрерывное отображение из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве) в более привычную 2-сферу, такое, что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом получается разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных окружности из этого семейства образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые два слоя зацеплены, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением^[англ.]. С этого началось изучение гомотопических групп сфер^[11].

История

Герб Бузан-ха^[англ.]

Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению Хопфа^[12]. Однако такое зацепление использовал ещё Гаусс^[3], а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты Бузан-ха^[англ.], основанной в XVI столетии.

См. также

• Катенаны, химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
• Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением