Изометрия (математика)

Изометрия — преобразование между метрическими пространствами, сохраняющее расстояния между точками.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — метрические пространства. Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется изометрией, если

${\displaystyle |f(x)-f(x')|_{Y}=|x-x'|_{X}}$

для любых ${\displaystyle x,x'\in X}$. Здесь ${\displaystyle |x-x'|_{X}}$ обозначает расстояние между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle x'}$ в пространстве ${\displaystyle X}$.

Свойства

• Изометрия является инъекцией.
• Изометрия между предгильбертовыми пространствами сохраняет углы между прямыми.
• В случае евклидова пространства является частным случаем преобразования подобия.
• Всякая изометрия плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом относительно некоторой точки, либо скользящей симметрией. Это утверждение известно, как Теорема Шаля.

В римановой геометрии

В римановой геометрии изометрией называют диффеоморфизм между (псевдо)римановыми многообразиями, который сохраняет метрический тензор.

Литература

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.