Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Предгильбертово пространство
вещественное или комплексное векторное пространство с внутренним произведением Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Предги́льбертово простра́нство (у некоторых авторов также евклидово пространство) — вещественное или комплексное линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.
Определение
Пара называется предгильбертовым пространством, если — линейное пространство, а — определённое на скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)
Remove ads
Норма
Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:
- .
В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.
Remove ads
Свойства
Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве справедлив закон параллелограмма, то — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение такое, что .
Пример
Суммиров вкратце
Перспектива
В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций с интегрируемым квадратом
если скалярное произведение определить как
Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L2).
Remove ads
См. также
![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads