Изотермические координаты

Изотермические (или конформные) координаты — локальные координаты на поверхности, малые координатные квадраты которой близки к квадратам.

Определение

Система координат на поверхности называется изотермической, если компоненты ${\displaystyle E,F,G}$ первой квадратичной формы удовлетворяют соотношениям ${\displaystyle E=G}$ и ${\displaystyle F=0}$.

Замечания

• Координатные линии изотермической системы координат образуют так называемую изотермическую сеть.

Примеры

• На поверхности вращения меридианы и параллели образуют изотермическую сеть
• Асимптотическая сеть на минимальной поверхности — изотермическая сеть

Свойства

• Изотермическая система координат задаёт конформное отображение на плоскость. То есть линейный элемент поверхности имеет вид:

  ${\displaystyle ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})}$

где ${\displaystyle \rho }$ конформный фактор.

• Если гармоническая функция ${\displaystyle u}$ на поверхности имеет ненулевой градиент ${\displaystyle \nabla _{p}u\neq 0}$ то в некоторой точке ${\displaystyle p}$, функция ${\displaystyle u}$ является координатой некоторой изотермической системы координат ${\displaystyle (u,v)}$. Вторая функция ${\displaystyle v}$ называется сопряжённой к ${\displaystyle u}$, она определена однозначно с точностью до сдвига и знака.

• Гауссова кривизна в изотермической системе координат выражается формулой

  ${\displaystyle K=-{\frac {1}{2}}e^{-\varphi }\Delta \phi =-{\frac {1}{2}}e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial v^{2}}}\right),}$

где ${\displaystyle \rho =e^{\varphi }}$ конформный фактор.

Вариации и обобщения

• Изотермическая сеть — частный случай ромбической сети.

См. также

• Изотермическая поверхность