Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма (первая фундаментальная форма, метрический тензор, линейный элемент) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Первая квадратичная форма часто обозначается ${\displaystyle \mathrm {I} }$.

Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления гауссовой кривизны поверхности, а также для вычисления длин дуг, углов между кривыми и площади областей на поверхности.

Определение

Пусть в евклидовом пространстве со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ поверхность задана уравнением ${\displaystyle r=r(u,v),}$ где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ ― внутренние координаты на поверхности; ${\displaystyle dr=r_{u}du+r_{v}dv}$ ― дифференциал радиус-вектора ${\displaystyle r}$ вдоль выбранного направления смещения из точки ${\displaystyle M}$ в бесконечно близкую точку ${\displaystyle M'}$. (Здесь ${\displaystyle r_{u}}$ и ${\displaystyle r_{v}}$ — частные производные радиус-вектора ${\displaystyle r}$ по ${\displaystyle u}$ и по ${\displaystyle v}$ соответственно.) Тогда квадрат главной части приращения длины ${\displaystyle |MM'|}$ выражается квадратом дифференциала ${\displaystyle dr}$:

${\displaystyle \mathrm {I} =(dr)^{2}=\langle r_{u},r_{u}\rangle du^{2}+2\langle r_{u},r_{v}\rangle dudv+\langle r_{v},r_{v}\rangle dv^{2}}$

и называется первой квадратичной формой поверхности.

Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

${\displaystyle E=|r_{u}|^{2},\ F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,\ G=|r_{v}|^{2}}$

или, в тензорных символах,

${\displaystyle \mathrm {I} =dr^{2}=g_{1,1}du^{2}+2g_{1,2}dudv+g_{2,2}dv^{2}.}$

Тензор ${\displaystyle g_{i,j}}$ называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства

• Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности; в частности

  ${\displaystyle EG-F^{2}>0.}$

См. также

• Вторая квадратичная форма
• Третья квадратичная форма
• Метрический тензор

Литература

• Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.

• Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

• А. В. Чернавский. Дифференциальная геометрия, 2 курс.