Изотропный вектор

Изотро́пный ве́ктор (нульвектор) — ненулевой вектор псевдоевклидова векторного пространства (над полем вещественных чисел) или унитарного векторного пространства (над полем комплексных чисел), ортогональный самому себе, или, что эквивалентно, имеющий нулевую длину в смысле скалярного произведения рассматриваемого пространства. Наименование изотропный связано с физическим понятием изотропии.

В евклидовых пространствах таких векторов нет — нулевой длиной обладают лишь векторы, равные нулю. В псевдоевклидовых пространствах изотропные векторы существуют и образуют изотропный конус. Именно, вектор ${\displaystyle \xi \neq 0}$ векторного пространства ${\displaystyle E}$ над полем ${\displaystyle F}$ вещественных или комплексных чисел с заданной в качестве скалярного произведения невырожденной билинейной формой ${\displaystyle \Phi :E\times E\to F}$ с сигнатурой ${\displaystyle (p,q)}$ изотропен, если ${\displaystyle \Phi (\xi ,\xi )=0}$.

Связанные понятия

Изотропный конус в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{3}}$

• Изотропным конусом псевдоевклидова или унитарного векторного пространства называется множество, состоящее из всех векторов нулевой длины данного пространства, то есть всех изотропных векторов и нулевого вектора.

• Изотропное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, целиком содержащееся в изотропном конусе этого пространства, то есть целиком состоящее из векторов нулевой длины. Подпространство является изотропным тогда и только тогда, когда любые два его вектора ортогональны друг другу^[1]. Максимальная размерность изотропного подпространства псевдоевклидова пространства сингатуры ${\displaystyle (p,q)}$ не превосходит ${\displaystyle \min(p,q)}$^[2].

• Вырожденное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, ограничение скалярного произведения на которое вырождено. Подпространство является вырожденным тогда и только тогда, когда оно содержит хотя бы один изотропный вектор, ортогональный всем остальным векторам этого подпространства^[1]. Очевидно, любое изотропное подпространство является вырожденным, но обратное не верно.

Примеры

Взаимное расположение плоскости ${\displaystyle \Pi }$ и изотропного конуса в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{3}}$. Слева направо: плоскость ${\displaystyle \Pi }$ псевдоевклидова, вырожденная, евклидова.

• Простейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{3}}$ — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (2,1). Квадрат длины вектора ${\displaystyle e=(x,y,z)}$ задается формулой ${\displaystyle |e|^{2}=\langle e,e\rangle =x^{2}+y^{2}-z^{2}}$. Изотропный конус — прямой круговой конус ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$. Изотропные подпространства — лежащие на нём прямые (образующие), вырожденные подпространства (отличные от изотропных) — плоскости, касающиеся изотропного конуса, то есть имеющие с ним ровно одну общую прямую. Все остальные плоскости являются либо евклидовыми (если пересекаются с изотропным конусом лишь в его вершине), либо псевдоевклидовыми сигнатуры (1,1) (если пересекаются с ним по двум различным прямым)^[3].

• Важнейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в пространстве Минковского ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{4}}$ — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (1,3), используемом в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности. В этом пространстве каждый вектор e имеет четыре координаты: ${\displaystyle e=(ct,x,y,z)}$, где ${\displaystyle c}$ ― скорость света, и квадрат его длины задается формулой ${\displaystyle |e|^{2}=\langle e,e\rangle =(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$. Изотропный конус пространства Минковского называется световым конусом, а изотропные векторы — световыми или светоподобными. Векторы, лежащие внутри светового конуса (${\displaystyle |e|^{2}>0}$), называются времениподобными, а векторы, лежащие вне светового конуса (${\displaystyle |e|^{2}<0}$), называются пространственноподобными.