Сигнатура (линейная алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Сигнатура.

В линейной алгебре сигнатура — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Определение

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к нормальному виду

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-x_{p+2}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}.}$

Разность ${\displaystyle p-q}$ между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел ${\displaystyle (p,q)}$ или в виде ${\displaystyle (+\cdots +-\cdots -)}$ с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример

Квадратичная форма от двух переменных ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ может быть приведена к нормальному виду ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}^{2}-{\tilde {x}}_{2}^{2},}$ например, с помощью линейной замены переменных:

${\displaystyle x_{1}=({\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2}),}$ ${\displaystyle x_{2}=({\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}).}$

Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде ${\displaystyle (1,1)}$ или в виде ${\displaystyle (+-).}$

См. также

• Псевдоевклидово пространство
• Пространство Минковского
• Квадратичная форма
• Линейная алгебра