Индексы Миллера

Индексы Миллера — кристаллографические индексы, характеризующие расположение атомных плоскостей в кристалле. Индексы Миллера связаны с отрезками, отсекаемыми выбранной плоскостью на трёх осях кристаллографической системы координат (не обязательно декартовой). Таким образом, возможны три варианта относительного расположения осей и плоскости:

• плоскость пересекает все три оси
• плоскость пересекает две оси, а третьей параллельна
• плоскость пересекает одну ось и параллельна двум другим

Плоскости с различными индексами Миллера в кубических кристаллах

Индексы Миллера выглядят как три взаимно простых целых числа, записанные в круглых скобках: (111), (101), (110)…

Индекс Миллера — Браве для гексагональной плотноупакованной решётки

Для работы с гексагональными решётками удобно использовать четырёхсимвольные индексы Миллера — Браве (hkil), в которых третий элемент i означает удобную, но вырожденную (не несущую никакой дополнительной информации) компоненту, равную −h − k. Угол между компонентами h, i и k индекса составляет 120°, так что они не ортогональны. Компонента l перпендикулярна всем трём направлениям h, i и k.

Определение индексов Миллера

Система координат решетки кристалла

Пусть на осях системы координат ${\displaystyle OXYZ}$ решетки кристалла (см. рис. "Система координат решетки кристалла"), плоскость, индексы Миллера которой хотим найти, отсекает отрезки ${\displaystyle OA=A\subset X,OB=B\subset Y,OC=C\subset Z}$. Для каждой из осей заданы свои параметры (постоянные) решетки ${\displaystyle a,b,c}$ (модули соответсвующих векторов трансляций). Тогда индексы будут находиться следующим образом. Находим значения отрезков ${\displaystyle A,B,C}$ в осевых единицах, то есть необходимо найти ${\displaystyle A/a,B/b,C/c}$ (полученные значения не имеют размерностей). Далее находим обратные значения найденных величин. После находим наименьшее общее кратное чисел:

${\displaystyle {\text{НОК}}\left(A/a,B/b,C/c\right)=[A/a,B/b,C/c]}$.

Таким образом, индексы Миллера ${\displaystyle h,k,l}$ будут определяться следующим образом:

${\displaystyle h={\frac {a}{A}}\cdot \left[{\frac {A}{a}},{\frac {B}{b}},{\frac {C}{c}}\right]}$

${\displaystyle k={\frac {b}{B}}\cdot \left[{\frac {A}{a}},{\frac {B}{b}},{\frac {C}{c}}\right]}$

${\displaystyle l={\frac {c}{C}}\cdot \left[{\frac {A}{a}},{\frac {B}{b}},{\frac {C}{c}}\right]}$.

Пример

Дано: ${\displaystyle A/a=1,B/b=2,C/c=-4}$.

Найдем ${\displaystyle \left[A/a,B/b,C/c\right]}$. Заметим, что ${\displaystyle 1=2^{0},2=2^{1},4=2^{2}}$, поэтому ${\displaystyle \left[A/a,B/b,C/c\right]=4}$, тогда ${\displaystyle h=4,k=2,l=-1}$, окончательно имеем ${\displaystyle (hkl)=(42{\overline {1}})}$.

См. также

• Индексы Вейса
• Анизотропия
• Линии Кикучи
• Кристаллическая структура

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Индексы Миллера
• Блинов Ю. Ф., Серба П. В., Московченко Н. Н. Пособие по практическим занятиям по курсу «Кристаллография»  (рус.). Таганрогский государственный радиотехнический университет. Дата обращения: 11 апреля 2011. Архивировано 28 марта 2012 года.