Интегральный гиперболический косинус

Интегральный гиперболический косинус — специальная функция, определяемая интегралом:

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int \limits _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Определение через интегральную показательную функцию по аналогии с обычным гиперболическим косинусом:

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (x)+\operatorname {Ei} (-x)\right)}$.

Непосредственно из определения следует, что производная интегрального гиперболического косинуса равна ${\displaystyle {\frac {\cosh x}{x}}}$, а неопределённый интеграл равен ${\displaystyle x\operatorname {Chi} (x)-\sinh {x}}$.

Представление в виде ряда:

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+{\frac {x^{2}}{2\cdot 2!}}+{\frac {x^{4}}{4\cdot 4!}}+{\frac {x^{6}}{6\cdot 6!}}+\cdots =\gamma +\ln x+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n(2n)!}}}$.

Функция имеет единственный вещественный корень^[1]:

${\displaystyle x=0{,}52382257138\dots }$.