Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Интегральная показательная функция

Из Википедии, свободной энциклопедии

Интегральная показательная функция
Remove ads

Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом .

Thumb
График функции

Определение на множестве вещественных чисел

Наиболее распространено следующее определение (см. график):

где есть постоянная Эйлера-Маскерони. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]

Remove ads

Основное определение

Суммиров вкратце
Перспектива

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом[1]

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от , но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку , в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно . Таким образом, функция является многозначной, а особая точка является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией , различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном ) кратно .

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) , соответствующую главной ветви в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции . Фиксируем также и главную ветвь аргумента: и далее будем считать, что  — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Remove ads

Возникновение Ei при вычислении интегралов

Суммиров вкратце
Перспектива

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию и элементарные функции.[1]

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что )

Из (2) следует, что при вещественных значениях и

где есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция[1]:

Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию обозначают символом , что может приводить к ошибкам.

При получении результата (3) было использовано значение интеграла

Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов и . Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) ] символа .

Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра :

Формулу (3) для и можно получить, положив в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений и при условии, что для функции используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа вместо ) нельзя полностью доверять также и справочникам.[источник не указан 1394 дня]

Remove ads

См. также

Примечания

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads