Интегральный оператор Фредгольма

Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида

${\displaystyle (Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,}$

отображающий одно пространство функций в другое. Здесь ${\displaystyle G}$ — область в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle K(x,t)}$ — функция, заданная на декартовом квадрате ${\displaystyle G\times G}$, называемая ядром интегрального оператора^[1]. Для вполне непрерывности оператора ${\displaystyle A}$ на ядро ${\displaystyle K(x,y)}$ накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядра^[2], ${\displaystyle L_{2}}$-ядра^[3][4], а также полярные ядра^[2][5]. Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма.

Свойства

Линейность

Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть ${\displaystyle A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag}$.

Непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным на ${\displaystyle {\bar {G}}\times {\bar {G}}}$^[6] ядром ${\displaystyle K(x,y)}$, переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ (и, следовательно, ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ и ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$) и ограничен (непрерывен), причём

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G}}),}$

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

где

${\displaystyle M=\max \limits _{x\in {\bar {G}},\,y\in {\bar {G}}}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.}$^[7].

Интегральный оператор с ${\displaystyle L_{2}}$-ядром:

${\displaystyle \int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty }$

переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$, непрерывен и удовлетворяет оценке:

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.}$^[1][8]

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$.^[9]

Вполне непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ является вполне непрерывным из ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$, то есть переводит любое множество, ограниченное в ${\displaystyle L_{2}(G)}$, в множество, предкомпактное в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$^[10]. Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с ${\displaystyle L_{2}}$-ядром.^[11]

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$.^[12]

Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор к оператору ${\displaystyle A}$ с ${\displaystyle L_{2}}$-ядром в гильбертовом пространстве ${\displaystyle L_{2}(G)}$ имеет вид

${\displaystyle (A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)}}f(y)\,dy.}$

Если ${\displaystyle K(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$, то интегральный оператор Фредгольма ${\displaystyle A}$ является самосопряжённым^[1][11]

Обратный оператор

При достаточно малых значениях ${\displaystyle |\lambda |}$ оператор ${\displaystyle I-\lambda A}$ (где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор) имеет обратный вида ${\displaystyle I+\lambda R}$, где ${\displaystyle R}$ — интегральный оператор Фредгольма с ядром ${\displaystyle R(x,y,\lambda )}$ — резольвентой ядра ${\displaystyle K(x,y)}$^[13].

См. также

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Ядро интегрального уравнения
• Теория Фредгольма
• Альтернатива Фредгольма
• Компактный оператор