Интегральные преобразования

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

${\displaystyle Tf(u)=\int \limits _{S}K(t,u)\,f(t)\,dt}$,

где функции ${\displaystyle f,Tf}$ называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства ${\displaystyle L}$, при этом функция ${\displaystyle K}$ называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

${\displaystyle f(t)=\int \limits _{S'}K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du.}$

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Таблица преобразований (одномерный случай)

Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами

${\displaystyle Tf(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,dt}$,

${\displaystyle f(t)=\int \limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du}$,

то:

Таблица интегральных преобразований (одномерный случай)

Преобразование	Обозначение	${\displaystyle K}$	t1	t2	${\displaystyle K^{-1}}$	u1	u2
Преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{+iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Синус-преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Косинус-преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Хартли	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Меллина	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Двустороннее преобразование Лапласа	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Преобразование Лапласа	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Преобразование Вейерштрасса	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Преобразование Ханкеля		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Интегральное преобразование Абеля		${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$	${\displaystyle u}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$	${\displaystyle t}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Гильберта	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle -{\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Ядро Пуассона		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\pi }$
Идентичное преобразование		${\displaystyle \delta (u-t)}$	${\displaystyle t_{1}<u}$	${\displaystyle t_{2}>u}$	${\displaystyle \delta (t-u)}$	${\displaystyle u_{1}\!<\!t}$	${\displaystyle u_{2}\!>\!t}$

Список интегральных преобразований

• Интегральное преобразование Абеля
• Преобразования Бесселя
• Преобразование Бушмана
• Преобразование Бэйтмена
• Преобразование Вейерштрасса
• Преобразование Ханкеля
• Преобразование Гегенбауэра
• Преобразование Гильберта
• Преобразование Конторовича — Лебедева
• Одностороннее преобразование Лапласа
• Двустороннее преобразование Лапласа
• Преобразование Мейера
• Преобразование Мелера — Фока
• Преобразование Меллина
• Преобразование Нерейна
• Преобразование Радона
• Преобразование Стилтьеса
• Преобразование Фурье
• Преобразование Хартли
• Преобразование Лагерра
• S-преобразование

Литература

• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физмагиз, 1961.

См. также

• Дискретные преобразования

Ссылки

• Таблицы интегральных преобразований на EqWorld: МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.