Интерполяционная формула Брахмагупты

Интерполяционная формула Брахмагупты — интерполяционная формула второго полиномиального порядка, найденная индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598—668) в начале VII века. Поэтическое описание этой формулы на санскрите находится в дополнительной части «Кхандакхадьяки» — труда, завершённого Брахмагуптой в 665 году^[1]. Такой же куплет имеется в более ранней его работе «Дхьяна-граха-адхикара», точная дата создания которой не установлена. Однако внутренняя взаимосвязь работ позволяет предположить, что она была создана ранее завершённого в 628 году основного труда учёного — «Брахма-спхута-сиддханта^[англ.]», поэтому создание интерполяционной формулы второго порядка может быть отнесено к первой четверти VII века^[1]. Брахмагупта был первым, кто нашёл и использовал формулу в конечных разностях второго порядка в истории математики^[2][3].

Формула Брахмагупты совпадает с интерполяционной формулой второго порядка Ньютона, которая была найдена (переоткрыта) спустя более тысячи лет.

Задача

Будучи астрономом, Брахмагупта был заинтересован в получении точных значений синуса на основе небольшого количества известных табулированных значений этой функции. Таким образом, перед ним стояла задача найти величину ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle x_{r}<x<x_{r+1}}$ по имеющимся в таблице значениям функции:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}}$	…	${\displaystyle x_{r}}$	${\displaystyle x_{r+1}}$	${\displaystyle x_{r+2}}$	…	${\displaystyle x_{n}}$
${\displaystyle f(x_{r})}$	${\displaystyle f_{1}}$	${\displaystyle f_{2}}$	…	${\displaystyle f_{r}}$	${\displaystyle f_{r+1}}$	${\displaystyle f_{r+2}}$	…	${\displaystyle f_{n}}$

При условии, что значения функции вычислены в точках с постоянным шагом ${\displaystyle h}$, (${\displaystyle x_{r+1}-x_{r}=h}$ для всех ${\displaystyle r}$), Ариабхата предложил использовать для расчётов (табличные) первые конечные разности:

${\displaystyle D_{r}=f_{r+1}-f_{r}}$

Математики до Брахмагупты использовали очевидную формулу линейной интерполяции

${\displaystyle f(x)=f_{r}+tD_{r}}$,

где ${\displaystyle t=(x-x_{r})/h}$.

Брахмагупта заменил в этой формуле ${\displaystyle D_{r}}$ другой функцией конечных разностей, которая позволяет получать более точные по порядку значения интерполируемой функции.

Алгоритм вычислений Брахмагупты

В терминологии Брахмагупты разность ${\displaystyle D_{r-1}}$ называется прошлый отрезок (गत काण्ड), ${\displaystyle D_{r}}$ называется полезный отрезок (भोग्य काण्ड). Длина отрезка ${\displaystyle x-x_{r}}$ до точки интерполирования в минутах называется обрубком (विकल). Новое выражение, которое должно заменить ${\displaystyle D_{r}}$ называется правильным полезным отрезком (स्फुट भोग्य काण्ड). Вычисление правильного полезного отрезка описано в куплете^[4][1]:

Согласно комментарию Бхуттопалы (X век) стихи переводятся так^[1][5]: Умножь обрубок на полуразность полезного и прошлого отрезков и раздели результат на 900. Добавь результат к полусумме полезного и прошлого отрезков, если эта полусумма меньше полезного отрезка. Если больше, то вычти. Получишь правильную полезную разность^[6].

900 минут (15 градусов) — это интервал ${\displaystyle h}$ между аргументами табличных значений синуса, которыми пользовался Брахмагупта.

Формула Брахмагупты в современных обозначениях

В современных обозначениях алгоритм вычислений Брахмагупты выражается формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t^{2}{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.\end{aligned}}}$

Это интерполяционная формула Ньютона второго порядка^[7][8].

Доказательство

Неизвестно как Брахмагупта получил эту формулу^[1]. В наше время такие формулы доказывают с помощью разложения функций ${\displaystyle f(x+kh),k=1,2,...}$ в правой расти равенства в ряд Тейлора в точке ${\displaystyle x}$. Однако доказать формулу можно и элементарными методами: после замены ${\displaystyle t=(x-x_{r})/h}$ формула Брахмагупты задаёт параболу проходящую через три точки ${\displaystyle (x_{r-1},f_{r-1}),(x_{r},f_{r}),(x_{r+1},f_{r+1})}$. Для вывода этой формулы достаточно найти коэффициенты этой параболы с помощью решения системы трёх линейных уравнений, определяемых этими точками.

Точность формулы

Компьютерный расчёт показывает, что имея таблицу из 7 значений синуса в узлах с шагом 15 градусов, Брахмагупта мог вычислять эту функцию с максимальной ошибкой не более 0,0012 и средней ошибкой не более 0,00042.