Линейная интерполяция

Лине́йная интерполя́ция — интерполяция алгебраическим двучленом ${\displaystyle P_{1}(x)=ax+b}$ функции ${\displaystyle f(x),}$ заданной в двух точках ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle x_{1}}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$.

Через две заданные красные точки принадлежащие интерполируемой функции проведена синяя линия — график интерполирующей функции (линейный интерполянт), значение ${\displaystyle y}$ в произвольной точке ${\displaystyle x,}$ принадлежащей отрезку, можно найти с помощью формулы линейной интерполяции

В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулы Ньютона.

Геометрическая интерпретация

Геометрически это означает замену графика функции ${\displaystyle f(x)}$ прямой, проходящей через точки ${\displaystyle \left[x_{0},f(x_{0})\right]}$ и ${\displaystyle \left[x_{1},f(x_{1})\right]}$.

Уравнение такой прямой имеет вид:

${\displaystyle {\frac {y-f(x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},}$

отсюда для ${\displaystyle x\in [x_{0},x_{1}]:}$

${\displaystyle f(x)\approx y=P_{1}(x)=}$

${\displaystyle =f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}$

Это и есть формула линейной интерполяции, при этом:

${\displaystyle f(x)=P_{1}(x)+R_{1}(x),}$

где ${\displaystyle R_{1}(x)}$ — погрешность формулы линейной интерполяции.

Если интерполируемая функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет непрерывную вторую производную на отрезке интерполяции, то:

${\displaystyle R_{1}(x)={\frac {f''(\psi )}{2}}(x-x_{0})(x-x_{1}),\quad \psi \in [x_{0},x_{1}]}$

При этом, исходя из теоремы Ролля, справедлива оценка ошибки интерполяции:

${\displaystyle |R_{1}(x)|\leqslant {\frac {M_{2}}{2}}\max |(x-x_{0})(x-x_{1})|={\frac {M_{2}h^{2}}{8}};}$

${\displaystyle M_{2}=\max _{[x_{0},x_{1}]}|f''(x)|;\quad h=x_{1}-x_{0}.}$

Применение

На графике — пример кусочно-линейной интерполяции — график заданной функции приближённо представлен в виде ломаной линии

Линейная интерполяция применяется для сокращения размера таблиц таблично заданных функций, при этом значения функции заданы в сокращённом количестве точек, а её значения в точках, отсутствующих в таблице, вычисляются по формуле линейной интерполяции.

Другой пример применения линейной интерполяции — приближенное представление данных в виде кусочно-линейной функции.

См. также

• Билинейная интерполяция
• Интерполяция алгебраическими многочленами
• Обратная матрица