Кватернионный анализ

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера^[1].

Определение регулярной функции

Рассмотрим оператор

${\displaystyle {\bar {\partial }}={\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

Функция кватернионного переменного ${\displaystyle f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H} }$ называется регулярной, если

${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0}$

Гармонические функции

Пусть ${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0}$, тогда и ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}f=0}$. Несложно проверить, что оператор ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ имеет вид

${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _{4}}$

и совпадает с оператором Лапласа в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции ${\displaystyle \tau \colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} }$ существует регулярная кватернионная функция ${\displaystyle f}$ такая, что ${\displaystyle \tau =\operatorname {Scal} \,f}$. Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Некоторые применения

Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх

Дифференцирование отображений

Пусть ${\displaystyle y=f(x)}$ — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной ${\displaystyle y'_{l}}$ в точке ${\displaystyle x=a}$ как такое число, что

${\displaystyle f(x)-f(a)=y'_{l}(x-a)+o(x-a)}$

где ${\displaystyle o(h)}$ — бесконечно малая от ${\displaystyle h}$ , то есть

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|o(h)|}{|h|}}=0}$ .

Множество функций, которые имеют левую производную, ограничено. Например, такие функции, как

${\displaystyle y=axb}$

${\displaystyle y=x^{2}}$

не имеют левой производной.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

${\displaystyle a(x+h)b-axb=ahb}$

${\displaystyle (x+h)^{2}-x^{2}=xh+hx+h^{2}}$

Нетрудно убедиться, что выражения

${\displaystyle ahb}$ и ${\displaystyle xh+hx}$

являются линейными функциями кватерниона ${\displaystyle h}$. Это наблюдение является основанием для следующего определения^[2].

Непрерывное отображение

${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

называется дифференцируемым на множестве ${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$, если в каждой точке ${\displaystyle x\in U}$ изменение отображения ${\displaystyle f}$ может быть представлено в виде

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)}$

где

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

линейное отображение алгебры кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} }$ и ${\displaystyle o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ такое непрерывное отображение, что

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0}$

Линейное отображение

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}}$

называется производной отображения ${\displaystyle f}$.

Производная может быть представлена в виде^[3]

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Соответственно дифференциал отображения ${\displaystyle f}$ имеет вид

${\displaystyle df={\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Здесь предполагается суммирование по индексу ${\displaystyle s}$. Число слагаемых зависит от выбора функции ${\displaystyle f}$. Выражения

${\displaystyle {\frac {d_{s0}df(x)}{dx}},{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

называются компонентами производной.

Производная удовлетворяет равенствам

${\displaystyle {\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg(x)}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)}$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b}$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b}$

Если ${\displaystyle y=axb}$, то производная имеет вид

${\displaystyle {\frac {daxb}{dx}}=a\otimes b,dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b}$

${\displaystyle {\frac {d_{10}axb}{dx}}=a,{\frac {d_{11}axb}{dx}}=b}$

Если ${\displaystyle y=x^{2}}$, то производная имеет вид

${\displaystyle {\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x,dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\,dx+dx\,x}$

и компоненты производной имеют вид

${\displaystyle {\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x,{\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1}$

${\displaystyle {\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1,{\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x}$

Если ${\displaystyle y=x^{-1}}$, то производная имеет вид

${\displaystyle {\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1},dy={\frac {dx^{-1}}{dx}}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}}$

и компоненты производной имеют вид

${\displaystyle {\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1},{\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}}=x^{-1}}$