Классический радиус электрона

Класси́ческий ра́диус электро́на, также известный как радиус Лоренца или длина томсоновского рассеяния, базируется на классической релятивистской модели электрона, в которой предполагается, что вся масса электрона имеет электромагнитную природу, то есть масса электрона, умноженная на квадрат скорости света, равна энергии создаваемого им электрического поля. При этом электрон представляется сферической частицей с определённым радиусом, поскольку при нулевом радиусе энергия созданного электроном поля была бы бесконечной.

${\displaystyle r_{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{0}c^{2}}}}$ = 2,8179403267(27) ⋅10^-15 м,

где e и m₀ есть электрический заряд и масса электрона, c — скорость света, а ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — диэлектрическая постоянная.

Классический радиус электрона равен радиусу полой сферы, на которой равномерно распределён заряд, если этот заряд равен заряду электрона, а потенциальная энергия электростатического поля ${\displaystyle U_{0}\ }$ полностью эквивалентна половине массы электрона, умноженной на квадрат скорости света (без учета квантовых эффектов):

${\displaystyle U_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {e^{2}}{r_{0}}}={\frac {1}{2}}m_{0}c^{2}}$.

Дифференцирование

Классическая шкала длины радиуса электрона может быть мотивирована рассмотрением энергии, необходимой для сборки количества заряда ${\displaystyle q}$ в сферу заданного радиуса ${\displaystyle r}$. Электростатический потенциал на расстоянии ${\displaystyle r}$ от заряда ${\displaystyle q}$ равен

${\displaystyle V(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}}$.

Чтобы вывести дополнительное количество заряда ${\displaystyle dq}$ из бесконечности, необходимо вложить в систему энергию ${\displaystyle dU}$ которая равна

${\displaystyle dU=V(r)dq}$.

Если «предполагается», что сфера имеет постоянную плотность заряда ${\displaystyle \rho }$, то

${\displaystyle q=\rho {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ и ${\displaystyle dq=\rho 4\pi r^{2}dr}$.

Выполнение интегрирования для ${\displaystyle r}$, начиная с нуля до конечного радиуса ${\displaystyle r}$, приводит к выражению для суммарнаю энергии ${\displaystyle U}$, необходимой для сборки полного заряда ${\displaystyle q}$ в однородную сферу радиуса ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3}{5}}{\frac {q^{2}}{r}}}$.

Это называется электростатической собственной энергией объекта. Заряд ${\displaystyle q}$ теперь интерпретируется как заряд электрона ${\displaystyle e}$; энергия ${\displaystyle U}$ устанавливается равной релятивистской масс-энергии электрона ${\displaystyle mc^{2}}$; числовой коэффициент 3/5 игнорируется как специфический для частного случая однородной плотности заряда. Затем радиус ${\displaystyle r}$ «определяется» как классический радиус электрона ${\displaystyle r_{\text{e}}}$ и мы приходим к выражению приведенному выше.

Дифференцирование не говорит, что ${\displaystyle r_{\text{e}}}$ это фактический радиус электрона. Оно только устанавливает пространственную связь между электростатической собственной энергией и масштабом массы-энергии электрона.

Связь с другими фундаментальными длинами

Сегодня классический радиус электрона рассматривается как классический предел для размеров электрона, которая используется при рассмотрении нерелятивистского рассеяния Томсона, а также в релятивистской формуле Клейна — Нишины. Классический радиус электрона является представителем тройки фундаментальных длин; две другие из этой тройки - боровский радиус (${\displaystyle a_{B}}$) и комптоновская длина волны электрона

${\displaystyle \lambda _{0}=h/m_{0}c.\ }$

Учитывая постоянную тонкой структуры α, классический радиус электрона можно переписать в форме:

${\displaystyle r_{0}=\alpha \lambda _{0}/2\pi =\alpha \lambda _{0\pi },\ }$

где ${\displaystyle \lambda _{0\pi }=\lambda _{0}/2\pi }$ — приведённая комптоновская длина волны электрона. Через длину классического радиуса электрона можно выразить комптоновскую длину волны электрона

${\displaystyle \lambda _{0\pi }=r_{0}/\alpha \ }$

и боровский радиус:

${\displaystyle a_{B}=r_{0}/\alpha ^{2}.\ }$

Если рассматривать радиус протона 0,8768 фемтометра(CODATA-2006) ,то радиус электрона в 3.21 раза больше радиуса протона.

Отсюда радиус электрона равен: 2,814528 фемтометра (2017-02-04)

Существование постоянной ${\displaystyle r_{0},}$ однако, не означает, что это настоящий радиус электрона. На таких расстояниях действуют законы квантовой механики, в которой электрон рассматривается как точечная частица.

Литература

• CODATA value for the classical electron radius Архивная копия от 10 января 2022 на Wayback Machine at NIST.
• Arthur N. Cox, Ed. «Allen’s Astrophysical Quantities», 4th Ed, Springer, 1999.

Ссылки

• Length Scales in Physics: the Classical Electron Radius