Клелия (кривая)

Кле́лия — пространственная геометрическая фигура: кривая на сфере, задаваемая в сферических координатах уравнением

${\displaystyle \varphi =c\,\theta ,}$

Клелия при ${\displaystyle c=1/4.}$

Проекции клелий на экваториальную плоскость при различных ${\displaystyle c.}$ Части кривых на тыльной стороне сферы изображены пунктирными линиями.

где переменные ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \theta }$ — соответственно азимутальный и зенитный углы, ${\displaystyle c>0}$ — некоторая константа.

Клелии были впервые описаны итальянским математиком Гвидо Гранди во второй части работы «Геометрические цветы» («Flores geometrici», 1728)^[1] и названы им в честь современницы, математика Клелии Борромео.

Проекции клелий на экваториальную плоскость ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ являются розами — плоскими кривыми, также открытыми Гранди и описанными им в первой части той же работы.

Доказательство

Запишем уравнение клелии в виде ${\displaystyle \theta ={\frac {\varphi }{c}}}$ и возьмём от обеих частей синус: ${\displaystyle \sin \theta =\sin {\frac {\varphi }{c}}.}$

Перейдём к цилиндрическим координатам: с учётом ${\displaystyle \rho =r\sin \theta }$ уравнение кривой можно записать как ${\displaystyle {\frac {\rho }{r}}=\sin {\frac {\varphi }{c}}.}$

Величина ${\displaystyle r}$ на сфере постоянна; обозначим её ${\displaystyle r=a.}$ Обозначим ${\displaystyle {\frac {1}{c}}=k.}$ Обе константы положительны.

Получаем ${\displaystyle \rho =a\sin k\varphi }$ — уравнение розы в полярных координатах.

На практике форму клелий имеют круговые полярные орбиты спутников. При этом константа ${\displaystyle c}$ равна отношению периода обращения спутника к периоду осевого вращения центрального тела.

Частным случаем клелии, при ${\displaystyle c=1,}$ является кривая Вивиани. Она соответствует синхронной орбите.

Всякая клелия проходит через северный ${\displaystyle \left(\theta =0\right)}$ и южный ${\displaystyle \left(\theta =\pi \right)}$ полюса сферы. При рациональном ${\displaystyle c}$ кривая замкнута и имеет конечную длину, при иррациональном — не замкнута и её длина бесконечна.