Коалгебра

Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих алгебрах и групповых схемах^[англ.]). Существует также F-коалгебра^[англ.], имеющая важные приложения в информатике.

Определение

Коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K-линейными отображениями ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes _{K}C}$ и ${\displaystyle \epsilon :C\to K}$, такими что

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(Здесь ${\displaystyle \otimes }$ и ${\displaystyle \otimes _{K}}$ означает тензорное произведение над K.)

Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют:

На первой диаграмме мы отождествляем ${\displaystyle C\otimes (C\otimes C)}$ с ${\displaystyle (C\otimes C)\otimes C}$ как два естественно изоморфных пространства.^[1] Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle C\otimes K}$ и ${\displaystyle K\otimes C}$.^[2]

Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением) в C, а ε является коединицей C.

Пример

Рассмотрим множество S и образуем векторное пространство над K с базисом S. Элементами этого векторного пространства являются такие функции из S в K которые отображают все элементы S, кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент s из S с функцией которая отображает s в 1 и все остальные элементы S в 0. Мы будем обозначать это пространство как C. Мы определим

${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes s\quad {\mbox{ and }}\quad \epsilon (s)=1\quad \forall s\in S.}$

Δ и ε могут быть единственным образом продолжены на всё C по линейности. Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и коединицей ε (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).

Конечномерный случай

В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще же говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.

Это следует из того, что, для конечномерных пространств, (A ⊗ A)* и A* ⊗ A* изоморфны.

Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами.