Коллапс (геометрия)

Коллапс — тип последовательности пространств, обычно римановых многообразий, которая существенно меняет локальную структуру (в частности теряет размерность) при переходе к пределу.

Определение

Существует несколько неэквивалентных определений коллапса.

Через филинг-радиус

Последовательность замкнутых римановых многообразий колапсирует если их филинг-радиусы стремятся к нулю.

Через потерю размерности

Предположим последовательность ${\displaystyle m}$-мерных римановых многообразий ${\displaystyle M_{n}}$ имеет ограниченную снизу кривизну и сходится к Александровскому пространству ${\displaystyle A}$ в смысле Громова — Хаусдорфа. Если при этом рамерность ${\displaystyle A}$ строго меньше ${\displaystyle m}$, то говорят, что ${\displaystyle M_{n}}$ коллапсирует к ${\displaystyle A}$.

При этом разница ${\displaystyle m-\dim A}$ называется коразмерностью коллапса.

Примеры

• Последовательность плоских торов ${\displaystyle T_{n}}$ изометричных произведению окружности длины ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ и единичной окружности коллапсирует к единичной окружности. В данном случае последовательность ${\displaystyle T_{n}}$ сходится к окружности в смысле Громова — Хаусдорфа.

Свойства

• Предположим последовательность односвязных ${\displaystyle m}$-мерных римановых многообразий ${\displaystyle M_{n}}$ с секционными кривизнами ${\displaystyle |K(M_{n})|\leq 1}$ коллапсирует с коразмерностью ${\displaystyle k}$. Тогда ${\displaystyle M_{n}}$ допускает эффективное действие ${\displaystyle k}$-мерного тора для всех больших ${\displaystyle n}$ с диаметром орбит стремящимся к нулю.

См. также

• Почти плоское многообразие — многообразие, допускающее последовательность римановых метрик ограниченной кривизны, коллапсирующих к точке.

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.