Почти плоское многообразие

Почти плоское многообразие — гладкое компактное многообразие М такое, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ на М существует риманова метрика ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$, такая, что ${\displaystyle {\mbox{diam}}(M,g_{\varepsilon })\leqslant 1}$ и ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$ является ${\displaystyle \varepsilon }$-плоской, то есть её секционные кривизны ${\displaystyle K_{g_{\varepsilon }}}$ в каждой точке удовлетворяют неравенству

${\displaystyle |K_{g_{\epsilon }}|<\varepsilon .}$

Примеры

• Любое компактное многообразие, допускающее плоскую метрику, является почти плоским. В частности, почти плоскими многообразиями являются
  • ${\displaystyle n}$-мерный тор
  • Бутылка Клейна
• Примером не плоского, но почти плоского многообразия является пространство нетривиального расслоения со слоем окружность над тором. Это пространство можно получить как фактор группы Гейзенберга по её целочисленной подгруппе и его конечные накрытия.

Свойства

• Для любого n существует положительное число ${\displaystyle \varepsilon _{n}>0}$ такое, что если n-мерное многообразие допускает ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$-плоские метрики с диаметром ${\displaystyle \leqslant 1}$, то онo почти плоскоe.
• Почти плоское многообразие как многообразие, коллапсирующее к точке с зажатой кривизной: М — почти плоское, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ на М существует риманова метрика ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$, такая, что диаметр многообразия меньше ${\displaystyle \varepsilon }$, и ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$ имеет ограниченную секционную кривизну, скажем, в каждой точке удовлетворяют неравенству ${\displaystyle |K_{g_{\epsilon }}|<1}$.
• По теореме Громова — Руха, многообразие М является почти плоским тогда и только тогда, когда оно является инфранильмногообразием. В частности, оно является конечным фактором нильмногообразия. Последнее можно определить индуктивно как пространство главного расслоения со слоем окружность над нильмногообразием.

Литература

• Gromov, M. (1978), Almost flat manifolds, Journal of Differential Geometry, 13 (2): 231–241, MR 0540942.
• Ruh, Ernst A. [in английский] (1982), Almost flat manifolds, Journal of Differential Geometry, 17 (1): 1–14, MR 0658470.