Колчан (математика)

Колчан (математика) — ориентированный граф, где разрешены петли и кратные рёбра.^[1] Колчаны обычно используются в теории представлений.^[2] Представление колчана сопоставляет каждой вершине колчана векторное пространство V(x) и каждому ребру a линейное отображение V(a).^[3]

Определение

Колчан Г состоит из:

• Множества V вершин Г
• Множества E ребер Г
• Двух функций: s:E \to V, задающей «начало» ребра, и ещё одной функции, t:E \to V, задающей «конец» ребра.

Это определение идентично определению мультиграфа.

Морфизм колчанов — это отображение вершин в вершины, которое переводит направленные ребра в направленные ребра. Обозначим два колчана как ${\displaystyle \Gamma =(V,E,s,t)}$ и ${\displaystyle \Gamma '=(V',E',s',t')}$. Тогда морфизм ${\displaystyle m=(m_{v},m_{e})}$ этих колчанов состоит из двух функций ${\displaystyle m_{v}:V\to V'}$ и ${\displaystyle m_{e}:E\to E'}$ таких, что следующие диаграммы коммутируют:

То есть,

${\displaystyle m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}}$

и

${\displaystyle m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}}$

Теорема Габриэля

Колчан имеет конечный тип, если он имеет только конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений^[англ.]*. Gabriel (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Теорема Габриэля утверждает, что^[4]

1. (Связный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его базовый граф (когда направления стрелок игнорируются) является одной из диаграмм Дынкина по классификации ADE: A_n, D_n, E₆, E₇, E₈.
2. Неразложимые представления находятся во взаимно-однозначном соответствии с положительными корнями системы корней диаграммы Дынкина.

См. также

• ADE-классификация
• Групповое кольцо
• Торическое многообразие