Конечное кольцо

Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов (которое называется порядком кольца). Другими словами, это (непустое) конечное множество ${\displaystyle R}$, на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения ${\displaystyle R}$ образует коммутативную конечную группу, а умножение связано со сложением обычными распределительными законами. Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля.

Количество колец небольших порядков приведено в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей^[1].

Примеры конечных колец

• Самым простым примером является тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Любое кольцо содержит тривиальное подкольцо. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей^[2]. Все остальные конечные кольца называются нетривиальными.

• Классическим примером конечного кольца является ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ — кольцо вычетов по некоторому натуральному модулю ${\displaystyle n}$. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число ${\displaystyle n}$ простое^[3]. Если же число ${\displaystyle n}$ составное, то в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ существуют делители нуля. Например множество ${\displaystyle \{0;\ 2;\ 4;\ 6\}}$ с операциями сложения и умножения по модулю 8 даёт пример кольца без единицы и с делителями нуля: ${\displaystyle 2\cdot 4=4\cdot 6=0.}$ Кольца вычетов важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел. Это кольцо коммутативно, но кольцо квадратных матриц заданного порядка, элементы которых — классы вычетов по модулю ${\displaystyle n}$, уже не коммутативно.

• Кольцо подмножеств конечного множества ${\displaystyle X}$ — это кольцо, элементами которого являются подмножества в ${\displaystyle X}$. В качестве операции сложения выступает симметрическая разность, а в роли умножения выступает пересечение множеств:

${\displaystyle A+B=A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

${\displaystyle A\cdot B=A\cap B}$

Выполнение аксиом кольца легко проверяется. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё ${\displaystyle X}$. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть ${\displaystyle A\cdot A=A}$. Любой элемент является своим обратным по сложению: ${\displaystyle A+A=0.}$ Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности, для построения теории вероятностей^[2].

• Каждое конечное поле или конечное тело одновременно является конечным кольцом.

Некоторые свойства

В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. В самом деле, пусть ${\displaystyle a}$ — ненулевой элемент кольца порядка ${\displaystyle n}$; составим произведения ${\displaystyle a}$ на все ненулевые элементы кольца: ${\displaystyle aa_{1}\dots aa_{n-1}}$. Если среди этих произведений есть единица, то элемент обратим, а если нет, то либо одно из произведений равно нулю, либо какие-то два произведения равны: ${\displaystyle aa_{i}=aa_{k},}$ или ${\displaystyle a(a_{i}-a_{k})=0.}$ В обоих случаях ${\displaystyle a}$ — делитель нуля, ч. т. д.

Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы следует из того же рассуждения).

Кольцо ${\displaystyle R}$ с нетривиальным умножением (у которого не все произведения элементов ${\displaystyle R}$ равны нулю) называется простым, если в нём нет двусторонних идеалов, кроме тривиального подкольца и самого ${\displaystyle R}$. Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов. Коммутативное кольцо ${\displaystyle R}$ с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом.

Теоремы Веддербёрна

Малая теорема Веддербёрна утверждает, что всякое конечное тело является полем (то есть коммутативно по умножению)^[4][5].

Натан Джекобсон позже обнаружил ещё одно условие, которое гарантирует коммутативность кольца: если для каждого элемента ${\displaystyle a}$ из кольца ${\displaystyle R}$ существует такое целое ${\displaystyle n>1}$, что ${\displaystyle a^{n}=a}$, то кольцо ${\displaystyle R}$ коммутативно^[6]. Обнаружены и другие признаки коммутативности колец^[7].

Ещё одна теорема Веддербёрна: пусть ${\displaystyle R}$ — простое кольцо с единицей и минимальными левыми идеалами. Тогда кольцо ${\displaystyle R}$ изоморфно кольцу всех матриц порядка ${\displaystyle n}$ над некоторым телом. При этом ${\displaystyle n}$ определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела ${\displaystyle D}$ кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (D,n)}$ является простым кольцом. Это означает, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над некоторым конечным полем^[8].