Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Конечномерное пространство
Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.
Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.
Remove ads
Свойства конечномерных пространств
Суммиров вкратце
Перспектива
Всякий элемент конечномерного пространства представим единственным образом в виде
где — поле (часто или ), над которым рассматривается пространство , — элементы базиса. Это следует из определения базиса.
Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.
- Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
- Пусть — конечномерное пространство и — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
- Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
- В любом конечномерном пространстве над полем можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве с фиксированным базисом, размерности , можно ввести скалярное произведение по правилу:
, где — компоненты векторов и соответственно.
Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:- — рефлексивное пространство[1].
- Пространство , сопряжённое к некоторому конечномерному пространству , конечномерно и его размерность совпадает с размерностью .
- Для любого подпространства конечномерного пространства существует подпространство [2] такое, что и разлагается в прямую сумму и , .
- В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
- Все нормы в конечномерном пространстве над полем эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
- Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
- Пространство над полем является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор является вполне непрерывным.
- Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над обратимый вполне непрерывный оператор.
- Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в множество предкомпактно.
- Всякий линейный оператор , определённый в конечномерном пространстве является непрерывным и даже вполне непрерывным.
- В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.
Remove ads
Примеры
- Евклидово пространство имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов
Более общий случай — пространства размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ():
- или
Если ввести норму и скалярное произведение то пространство будет евклидовым.
- — пространство всех многочленов степени не выше . Размерность этого пространства . Многочлены образуют в нём базис.
- Пусть — произвольное линейное пространство и пусть некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.
Remove ads
См. также
Примечания
Литература
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads