Полная категория

Категория называется полной в малом, если в ней любая малая диаграмма имеет предел. Двойственное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм оказывается слишком сильным условием, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком, между любыми двумя её объектами было бы не более одного морфизма.

Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.

Более слабое свойство категории — конечная полнота. Категория называется конечно полной, если в ней существуют все конечные пределы (то есть пределы всех диаграмм, индексированных конечным множеством). Аналогично определяются конечно кополные категории.

Примеры

• Следующие категории биполны:
  • категория множеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}et}$;
  • категория групп ${\displaystyle {\mathcal {G}}rp}$;
  • категория колец ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$;
  • категория абелевых групп ${\displaystyle {\mathcal {A}}b}$;
  • категория топологических пространств ${\displaystyle {\mathcal {T}}op}$;
  • категория компактных хаусдорфовых пространств ${\displaystyle {\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}}$;
  • категория малых категорий ${\displaystyle {\mathcal {C}}at}$;
• Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
  • категория конечных множеств ${\displaystyle f{S}et}$;
  • категория конечномерных векторных пространств над полем ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle fd-{\mathcal {V}}ect_{K}}$;
  • категория конечных групп ${\displaystyle f{\mathcal {G}}rp}$;
• Вообще, если ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}}$ — категория моделей некоторой алгебраической теории^[англ.] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, то ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}}$ полна и кополна, так как она рефлективна в ${\displaystyle \mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)}$. Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
• (теорема о пределе с параметром) Если категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ полна (кополна), то категория ${\displaystyle \mathrm {Func} ({\mathcal {A}},{\mathcal {C}})}$ полна (кополна) для любой категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, причём пределы вычисляются поточечно.
• Любая абелева категория конечно полна и конечно кополна.
• Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
• Категория метрических пространств Met конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.

Свойства

Существует теорема о том, что категория полна тогда и только тогда, когда в ней существуют все уравнители и малые произведения. Соответственно, категория кополна, если в ней есть все коуравнители и малые копроизведения.

Конечно полную категорию также можно охарактеризовать несколькими способами. А именно — следующие утверждения эквивалентны:

• C конечно полна,
• C имеет все уравнители и конечные произведения,
• C имеет все уравнители, бинарные произведения и терминальный объект,
• C имеет все декартовы квадраты и терминальный объект.

Двойственные утверждения также эквивалентны.

Малая категория полна в малом, только если она является предпорядком. То же верно и для кополной категории; более того, для малой категории полнота и кополнота в малом эквивалентны.^[1]

Если категория ${\displaystyle C}$ полна в малом, то для любой малой категории ${\displaystyle A}$ любой функтор ${\displaystyle F\colon A\to C}$ имеет правое расширение Кана ${\displaystyle \mathrm {Ran} _{K}F}$ по любому функтору ${\displaystyle K\colon A\to B}$, причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.