Произведение (теория категорий)

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Определение

Пусть задано ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории ${\displaystyle C}$. Объект ${\displaystyle X}$ категории ${\displaystyle C}$ вместе с семейством морфизмов ${\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}}$ является произведением семейства объектов ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$, если для любого объекта ${\displaystyle Y\in C}$ и любого семейства морфизмов ${\displaystyle f_{i}\colon \,Y\to X_{i}}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle f\colon \,Y\to X}$, для которого следующая диаграмма:

Universal product of the product

коммутативна для каждого ${\displaystyle i\in I}$ (то есть ${\displaystyle \pi _{i}\circ f=f_{i}}$). Морфизмы ${\displaystyle \pi _{i}}$ называются каноническими проекциями.

Приведенное определение равносильно следующему:

Объект ${\displaystyle X}$ вместе с семейством проекций ${\displaystyle \{\pi _{i}\}_{i\in I}}$ является произведением семейства объектов ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ тогда и только тогда, когда для любого объекта ${\displaystyle Y\in C}$ отображение

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{C}(Y,X)\rightarrow \prod _{i\in I}\mathrm {Hom} _{C}(Y,X_{i}),\;f\mapsto \prod _{i\in I}(\pi _{i}\circ f)}$

биективно.

Произведение двух объектов обычно обозначают ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$, при этом диаграмма принимает вид

Universal product of the product

Морфизм ${\displaystyle f}$ при этом иногда обозначается ${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle }$.

Единственность результата операции ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$ можно альтернативно выразить как равенство ${\displaystyle \langle \pi _{1}\circ h,\pi _{2}\circ h\rangle =h}$, верное для любых ${\displaystyle h}$.^[1]

Примеры

• В категории множеств категорное произведение совпадает с декартовым.
• В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
• В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
• В категории проективных многообразий категорное произведение можно задать при помощи вложения Сегре.
• Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, в которой морфизм из ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle b}$ существует тогда и только тогда (по определению), когда ${\displaystyle a\geqslant b}$ (причём между двумя объектами не может быть более одного морфизма). При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.

Свойства

• Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
• Коммутативность: ${\displaystyle a\times b\simeq b\times a.}$
• Ассоциативность: ${\displaystyle (a\times b)\times c\simeq a\times (b\times c)}$
• Если в категории существует терминальный объект ${\displaystyle \ 1}$, то ${\displaystyle a\times 1\simeq 1\times a\simeq a.}$
• Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.

Дистрибутивность

В общем случае существует канонический морфизм ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)}$, где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Свойство универсальности для ${\displaystyle X\times (Y+Z)}$ гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований

Любой морфизм

${\displaystyle f\colon \bigoplus _{i\in I}a_{i}\to \bigotimes _{j\in J}b_{j}}$

порождает множество морфизмов

${\displaystyle f_{ij}\colon a_{i}\to b_{j}}$

задаваемых по правилу ${\displaystyle f_{ij}=\pi _{j}\circ f\circ \imath _{i}}$ и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования ${\displaystyle f_{ij}\colon a_{i}\to b_{j}}$ задаёт единственный соответствующий морфизм ${\displaystyle \scriptstyle f\colon \bigoplus _{i\in I}a_{i}\to \bigotimes _{j\in J}b_{j}.}$ Если в категории существует нулевой объект ${\displaystyle 0,}$ то для любых двух объектов ${\displaystyle x,y}$ существует канонический нулевой морфизм: ${\displaystyle 0_{xy}:x\to 0\to y.}$ В этом случае матрица преобразования ${\displaystyle \scriptstyle f\colon \bigoplus _{i\in I}a_{i}\to \bigotimes _{i\in I}a_{i}}$, задаваемая по правилу

${\displaystyle f_{ij}=\left\{{\begin{matrix}0_{a_{j}a_{i}},~i\neq j\\\mathrm {id} _{a_{i}},~i=j\end{matrix}}\right.}$

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств ${\displaystyle {\mathcal {V}}ect_{f}}$ копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.

См. также

• Копроизведение — понятие, двойственное произведению.
• Декартово замкнутая категория