Конструкция Штейнера

Конструкция Штейнера — способ определения невырожденного конического сечения в проективной плоскости над полем. Была предложена швейцарским математиком Якобом Штейнером.

1. Конструкция Штейнера

2. Перспективное отображение прямых

3. Пример конструкции Штейнера: построение точки P

Конструкция

• Пусть даны два пучка прямых ${\displaystyle B(U),B(V)}$ в точках ${\displaystyle U,V}$ (все прямые, содержащие ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ соответственно) и проективное, но не перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle B(U)}$ в ${\displaystyle B(V)}$. Тогда точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение^[1][2][3][4] (изображение 1)

Перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ пучка ${\displaystyle B(U)}$ в пучок ${\displaystyle B(V)}$ — это биекция, такая, что соответствующие прямые пересекаются на фиксированной прямой ${\displaystyle a}$, называемой осью перспективного отображения ${\displaystyle \pi }$ (изображение 2).

Проективное отображение — это композиция конечного числа перспективных отображений.

Примеры часто используемых полей — это действительные числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$, рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и комплексные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Конструкция также работает над конечными полями, давая примеры в конечных проективных плоскостях.

Замечание: Основная теорема для проективных плоскостей утверждает, что проективное отображение в проективной плоскости над полем однозначно определяется образами трёх прямых.^[5] Это значит, что для конструкции Штейнера, кроме двух точек ${\displaystyle U,V}$ должны быть заданы только образы трёх прямых. Поскольку образ прямой однозначно определяется точкой пересечения с образом, отсюда следует, что коника однозначно определяется пятью лежащими на ней точками.

Пример

В следующем примере известны образы трёх прямых ${\displaystyle a,u,w}$ (см. изображение 3): ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. Проективное отображение ${\displaystyle \pi }$ является композицией перспективных отображений ${\displaystyle \pi _{b},\pi _{a}}$: 1) ${\displaystyle \pi _{b}}$ — это перспективное отображение пучка в точке ${\displaystyle U}$ на пучок в точке ${\displaystyle O}$ с осью ${\displaystyle b}$. 2) ${\displaystyle \pi _{a}}$ — это перспективное отображение пучка в точке ${\displaystyle O}$ на пучок в точке ${\displaystyle V}$ с осью ${\displaystyle a}$. Нужно проверить, что ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b}}$ обладает следующими свойствами: ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. Таким образом, для произвольной прямой ${\displaystyle g}$ может быть построен её образ ${\displaystyle \pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)}$. Прямые ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ содержат только точки коники ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ соответственно. Следовательно, ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ являются касательными к построенной конике.

Доказательство того, что этот метод позволяет построить конику, производится путём перехода к аффинной карте, в которой прямая ${\displaystyle w}$ является бесконечно удалённой прямой, точка ${\displaystyle O}$ — началом координат, точки ${\displaystyle U,V}$ — точками на бесконечности, соответствующими осям x и y соответственно. и точка ${\displaystyle E=(1,1)}$. Аффинная часть построенной коники оказывается гиперболой ${\displaystyle y=1/x}$.^[3]

Построение Штейнера двойственной коники

Двойственный эллипс

Построенная по Штейнеру двойственная коника

Определение перспективного отображения

Пример построения двойственной коники по Штейнеру

Определения

При переходе к двойственной проективной плоскости меняются местами слова «точка» и «прямая» и операции пересечения прямых и соединения точек. Двойственная проективная плоскость также является проективной плоскостью и на ней можно ввести однородные координаты. Невырожденное конической сечение в двойственной проективной плоскости также определяется квадратичной формой.

Двойственная коника может быть построена двойственным методом Штейнера:

• Пусть даны прямые ${\displaystyle u,v}$ и проективное, но не перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle v}$. Тогда прямые, соединяющие соответственные точки, образуют двойственное невырожденное проективное коническое сечение.

Перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ множества точек на прямой ${\displaystyle u}$ на множество точек на прямой ${\displaystyle v}$ — это биекция, такая, что прямые, соединяющие соответственные точки, пересекаются в фиксированной точке ${\displaystyle Z}$, которая называется центром перспективного отображения ${\displaystyle \pi }$ (см. изображение).

Проективное отображение — это композиция конечного числа перспективных отображений.

В случае, когда основное поле имеет характеристику 2, все касательные коники пересекаются в точке, называемой узлом (или ядром) коники. Следовательно, коника, двойственная к невырожденной конике, является подмножеством двойственной прямой, а не овальной кривой (в двойственной плоскости). Так что двойственная коника является невырожденной только в том случае, когда характеристика основного поля не равна 2.

Пример

В следующем примере известны образы трёх точек ${\displaystyle A,U,W}$: ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$. Проективное отображение ${\displaystyle \pi }$ может быть представлено как композиция перспективных отображений ${\displaystyle \pi _{B},\pi _{A}}$:

1) ${\displaystyle \pi _{B}}$ — это перспективное отображение множества точек на прямой ${\displaystyle u}$ на множество точек на прямой ${\displaystyle o}$ с центром ${\displaystyle B}$.

2) ${\displaystyle \pi _{A}}$ — это перспективное отображение множества точек на прямой ${\displaystyle o}$ на множество точек на прямой ${\displaystyle v}$ с центром ${\displaystyle A}$.

Лекгко проверяется, что отображение ${\displaystyle \pi =\pi _{A}\pi _{B}}$ удовлетворяет ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$. Таким образом, для произвольной точки ${\displaystyle G}$ может быть построен её образ ${\displaystyle \pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)}$ и прямая ${\displaystyle {\overline {G\pi (G)}}}$ является элементом двойственной коники.