Конфигурация Паппа

Конфигурация Паппа — конфигурация из девяти точек и девяти прямых на евклидовой плоскости такая, что на каждой прямой расположены три точки, и через каждую точку проходят три прямые^[1]. Названа в честь Паппа Александрийского.

Конфигурация Паппа

Любые две тройки коллинеарных точек (точек, лежащих на одной прямой) ABC и abc (ни одна из которых не лежит на пересечении этих двух прямых) можно дополнить до конфигурации Паппа, добавив шести прямых: Ab, aB, Ac, aC, Bc, и bC, а также три точки пересечений: X = Ab•aB, Y = Ac•aC и Z = Bc•bC. Эти три точки являются точками пересечений противоположных сторон шестиугольника AbCaBc. Согласно теореме Паппа, точки пересечения X, Y и Z лежат на одной прямой, так называемой прямой Паппа^[2].

Граф Паппа

Граф Леви конфигурации Паппа известен как граф Паппа. Это двудольный симметричный кубический граф с 18 вершинами и 27 рёбрами^[3].

Конфигурация Паппа из треугольников XcC и YbB, находящихся в перспективе (перспектива треугольников — когда прямые, проведённые через вершины треугольников, пересекаются в одной точке)

Конфигурацию Паппа можно также получить из двух треугольников XcC и YbB, находящихся в перспективе друг к другу (три прямые, проходящие через соответствующие пары точек, пересекаются в одной точке), тремя различными способами, если включить три центра перспективы Z, a and A. Точки конфигурации — это вершины треугольников и центры перспектив, а прямые конфигурации — это прямые, проходящие через пары точек, принадлежащих разным треугольникам. Конфигурация Дезарга может быть также определена в терминах перспективы треугольников, а конфигурацию Рейе можно определить аналогичным образом через два тетраэдра, находящихся в перспективе друг к другу четырьмя различными способами и образующих сцепленную систему^[англ.] тетраэдров.

Для любой невырожденной кубики (плоской алгебраической кривой 3-го порядка) на евклидовой плоскости, трёх вещественных точек перегиба кривой и четвёртой точки на кривой существует единственный способ пополнить эти четыре точки до конфигурации Паппа так, что все девять точек лежали на кривой^[4].