Кривая Персея

Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от др.-греч. σπειρα — тор^[1]) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов^[2].

Кривые Персея как сечения тора плоскостью

Три кривых Персея:
${\displaystyle a=1,b=2,c=0}$
${\displaystyle a=1,b=2,c=0{,}8}$
${\displaystyle a=1,b=2,c=1}$

Впервые этот подкласс торических сечений изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом^[3]. Переоткрыты в XVII веке^[2]; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в декартовой системе координат:

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2}+c^{2})}$,

в ней ${\displaystyle a}$ — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом ${\displaystyle r}$ образован тор. При ${\displaystyle c=0}$ кривая состоит из двух окружностей радиуса ${\displaystyle a}$ с центрами ${\displaystyle (\pm r,0)}$; при ${\displaystyle c=r+a}$ кривая вырождается в точку — начало координат, если же ${\displaystyle c>r+a}$ — то кривая состоит из пустого множества точек^[3].

Если ввести новые параметры: ${\displaystyle d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$, ${\displaystyle e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2})}$ и ${\displaystyle f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)}$, то возникает другая форма уравнения^[4]:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f}$.

Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую^[5], симметричную относительно осей ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Уравнение в полярных координатах:

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})}$,

или^[4]:

${\displaystyle r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f}$.

Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.