Критерий Келли

У этого термина существуют и другие значения, см. Келли.

Критерий Келли (англ. Kelly criterion) — финансовая стратегия ставок, разработанная Джоном Л. Келли^[англ.] в 1956 году.

Эта стратегия определяет размеры ставок в процентах от величины ваших денежных средств. Но может возникнуть ситуация когда ставка игрока будет меньше минимальной ставки букмекера. Эта стратегия сложна тем, что требует правильной оценки вероятностного исхода^[1].

В 2000-х годах анализ в стиле Келли стал частью основной теории инвестиций^[2], и было заявлено, что известные успешные инвесторы, включая Уоррена Баффета^[3] и Билла Гросса^[4], используют методы Келли.

Формула расчета оптимального размера ставки:

${\displaystyle {\frac {K\cdot V-1}{K-1}}=C}$

• ${\displaystyle K}$ — коэффициент букмекера
• ${\displaystyle V}$ — оценка события игрока
• ${\displaystyle C}$ — коэффициент размера следующей ставки

Пример:

• Ваш банк: 1000$
• Коэффициент букмекера: 3
• Ваша оценка исхода события: 0.4

${\displaystyle C=(3\cdot 0.4-1)/(3-1)=0.1}$

Ставка игрока: ${\displaystyle 1000\cdot 0.1=100}$.

Критерий Келли используется не только в ставках на исход спортивных событий, но и на бирже. При использовании данного метода у игрока возникают следующие проблемы:

1. При завышенной оценке исхода игрок потеряет больше денег, а при недооценке исхода он не сможет получить ту прибыль, на которую рассчитывал.
2. Используя этот метод, игрок должен ставить на события, переоцененные букмекером. Например, если он оценил исход как 50 %, то коэффициент букмекера должен быть выше 2.

При правильной оценке исходов событий банк растет быстрее любой другой стратегии, чем этот критерий и знаменит.

В связи со сложностью определения точного значения вероятности исхода события и большими колебаниями банка (вероятность разорения до X% от банка составляет X%) не многие игроки рискуют использовать данную стратегию в реальных ставках.

Этот критерий известен экономистам и теоретикам-финансистам под такими именами как критерий роста капитала, стратегия оптимального роста, максимизация логарифмической полезности, «стратегия максимизации геометрического среднего портфеля» и т. д. Эдвард Торп начал практическое применение Критерия Келли ведя счёт карт в блек-джеке, по совету Клода Шеннона, который, как и Джон Л. Келли работал в Bell Labs. С выработкой своей стратегии игры, игрок практически становится инвестором в инвестиционной компании и может применять для инвестирования инвестиционные правила.

Формула Келли

Формула Келли — формула, которая показывает оптимальную долю капитала, которой можно рискнуть в одной сделке. Применяется в управлении капиталом при игре на финансовых рынках, в азартных играх и др.

Рассматривается следующая ситуация. Участник при каждой сделке может с вероятностью ${\displaystyle p}$ получить прибыль в ${\displaystyle A}$ раз превышающую поставленный капитал ${\displaystyle x}$ или с вероятностью ${\displaystyle q=1-p}$ получить убыток в ${\displaystyle B}$ раз превышающий ставку ${\displaystyle x}$. Ставится задача — какую долю общего капитала ${\displaystyle K}$ надо каждый раз ставить, чтобы максимизировать среднюю величину логарифма прибыли при большом числе повторяемых сделок.

Обозначим долю капитала ${\displaystyle f=x/K}$.

Формула Келли гласит, что оптимальное значение

${\displaystyle f^{*}={\frac {p}{B}}-{\frac {q}{A}}}$

(предполагается, что математическое ожидание сделки положительно, то есть ${\displaystyle pA-qB>0}$)^[5].

Формулы Келли применимы только к результатам, имеющим распределение Бернулли (два возможных исхода). Применение формул Келли к иному распределению будет ошибкой и не даст оптимального ${\displaystyle f}$ ^[6].