Распределение Бернулли

Распределе́ние Берну́лли в теории вероятностей и математической статистике — дискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, при заранее известной вероятности успеха или неудачи.

Распределение Бернулли
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle q\equiv 1-p}$
Носитель	${\displaystyle k=\{0,1\}}$
Функция вероятности	${\displaystyle {\begin{matrix}q&k=0\\p~~&k=1\end{matrix}}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\begin{matrix}0&k<0\\q&0\leq k<1\\1&k\geq 1\end{matrix}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle p}$
Мода	${\displaystyle {\begin{cases}0,&q>p\\0,1,&q=p\\1,&q<p\end{cases}}}$
Дисперсия	${\displaystyle pq}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle -q\ln q-p\ln p}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle q+pe^{t}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle q+pe^{it}}$

Определение

Случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 0}$ с вероятностями ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q\equiv 1-p}$ соответственно. Таким образом:

${\displaystyle \mathbb {P} (X=1)=p}$,

${\displaystyle \mathbb {P} (X=0)=q}$.

Принято говорить, что событие ${\displaystyle \{X=1\}}$ соответствует «успеху», а событие ${\displaystyle \{X=0\}}$ — «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

Свойства

Предельное свойство

Предельное свойство описывается теоремой Пуассона:

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где ${\displaystyle p_{n}}$ — вероятность «успеха», ${\displaystyle \mu _{n}}$ — количество «успехов».

Тогда если

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=0;}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda$ ;}
3. ${\displaystyle \lambda >0,}$

то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega$ :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}

Моменты распределения Бернулли

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=p}$,

${\displaystyle \operatorname {D} [X]=p(1-p)=pq}$, так как: ${\displaystyle \operatorname {E} X^{2}-\left(\operatorname {E} X\right)^{2}=p-p^{2}=p\cdot (1-p)=pq}$.

Вообще, легко видеть, что

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}=p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N} }$

Замечание

Если независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, имеют распределение Бернулли с вероятностью успеха ${\displaystyle p}$, то

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$

имеет биномиальное распределение с ${\displaystyle n}$ степенями свободы.

См. также

• Задача о разорении игрока#Схема Бернулли.

Литература

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4